Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60857 / 83485
↖ ↑ ↗
← S 44.144769°
W 12.851257°		 ← 219.12 m → S 44.144769°
W 12.848511°		 →
↑
219.16 m
↓
↑
219.16 m
↓
S 44.146740°
W 12.851257°		 ← 219.12 m →
48 023 m²		 S 44.146740°
W 12.848511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464305877685547 y=0.636943817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464305877685547 × 217)
    floor (0.464305877685547 × 131072)
    floor (60857.5)     		tx = 60857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636943817138672 × 217)
    floor (0.636943817138672 × 131072)
    floor (83485.5)     		ty = 83485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60857 / 83485 ti = "17/60857/83485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60857/83485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60857 ÷ 217
    60857 ÷ 131072     		x = 0.464302062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83485 ÷ 217
    83485 ÷ 131072     		y = 0.636940002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464302062988281 × 2 - 1) × π
    -0.0713958740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22429675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636940002441406 × 2 - 1) × π
    -0.273880004882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.860419411280388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22429675} λ = -0.22429675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860419411280388))-π/2
    2×atan(0.422984640580127)-π/2
    2×0.400162382211392-π/2
    0.800324764422783-1.57079632675     		φ = -0.77047156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22429675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.851257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77047156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.144769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60857 KachelY 83485 -0.22429675 -0.77047156 -12.851257 -44.144769
    Oben rechts KachelX + 1 60858 KachelY 83485 -0.22424882 -0.77047156 -12.848511 -44.144769
    Unten links KachelX 60857 KachelY + 1 83486 -0.22429675 -0.77050596 -12.851257 -44.146740
    Unten rechts KachelX + 1 60858 KachelY + 1 83486 -0.22424882 -0.77050596 -12.848511 -44.146740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77047156--0.77050596) × R
    3.439999999999e-05 × 6371000     		dl = 219.162399999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77047156--0.77050596) × R
    3.439999999999e-05 × 6371000     		dr = 219.162399999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22429675--0.22424882) × cos(-0.77047156) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.717582320269505 × 6371000     		do = 219.122394009613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22429675--0.22424882) × cos(-0.77050596) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.717558361149679 × 6371000     		du = 219.115077804146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77047156)-sin(-0.77050596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717582320269505-0.717558361149679)×R²
    abs(-0.22424882--0.22429675)×2.39591198258893e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39591198258893e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39591198258893e-05×40589641000000     		ar = 48022.5880509854m²