Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60857 / 41098
↖ ↑ ↗
← N 55.562816°
W 12.851257°		 ← 172.68 m → N 55.562816°
W 12.848511°		 →
↑
172.72 m
↓
↑
172.72 m
↓
N 55.561263°
W 12.851257°		 ← 172.69 m →
29 826 m²		 N 55.561263°
W 12.848511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464305877685547 y=0.313556671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464305877685547 × 217)
    floor (0.464305877685547 × 131072)
    floor (60857.5)     		tx = 60857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313556671142578 × 217)
    floor (0.313556671142578 × 131072)
    floor (41098.5)     		ty = 41098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60857 / 41098 ti = "17/60857/41098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60857/41098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60857 ÷ 217
    60857 ÷ 131072     		x = 0.464302062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41098 ÷ 217
    41098 ÷ 131072     		y = 0.313552856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464302062988281 × 2 - 1) × π
    -0.0713958740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22429675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313552856445312 × 2 - 1) × π
    0.372894287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17148195291493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22429675} λ = -0.22429675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17148195291493))-π/2
    2×atan(3.2267710197045)-π/2
    2×1.27027520169647-π/2
    2.54055040339293-1.57079632675     		φ = 0.96975408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22429675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.851257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96975408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.562816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60857 KachelY 41098 -0.22429675 0.96975408 -12.851257 55.562816
    Oben rechts KachelX + 1 60858 KachelY 41098 -0.22424882 0.96975408 -12.848511 55.562816
    Unten links KachelX 60857 KachelY + 1 41099 -0.22429675 0.96972697 -12.851257 55.561263
    Unten rechts KachelX + 1 60858 KachelY + 1 41099 -0.22424882 0.96972697 -12.848511 55.561263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96975408-0.96972697) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dl = 172.71780999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96975408-0.96972697) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dr = 172.71780999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22429675--0.22424882) × cos(0.96975408) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.565502369959224 × 6371000     		do = 172.682951660565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22429675--0.22424882) × cos(0.96972697) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.565524728633635 × 6371000     		du = 172.689779150771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96975408)-sin(0.96972697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565502369959224-0.565524728633635)×R²
    abs(-0.22424882--0.22429675)×2.23586744106941e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23586744106941e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23586744106941e-05×40589641000000     		ar = 29826.0108516858m²