Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60857 / 32921
↖ ↑ ↗
← N 66.345220°
W 12.851257°		 ← 122.52 m → N 66.345220°
W 12.848511°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
N 66.344118°
W 12.851257°		 ← 122.52 m →
15 018 m²		 N 66.344118°
W 12.848511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464305877685547 y=0.251171112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464305877685547 × 217)
    floor (0.464305877685547 × 131072)
    floor (60857.5)     		tx = 60857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251171112060547 × 217)
    floor (0.251171112060547 × 131072)
    floor (32921.5)     		ty = 32921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60857 / 32921 ti = "17/60857/32921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60857/32921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60857 ÷ 217
    60857 ÷ 131072     		x = 0.464302062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32921 ÷ 217
    32921 ÷ 131072     		y = 0.251167297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464302062988281 × 2 - 1) × π
    -0.0713958740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22429675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251167297363281 × 2 - 1) × π
    0.497665405273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.56346198110813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22429675} λ = -0.22429675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56346198110813))-π/2
    2×atan(4.7753247453051)-π/2
    2×1.36436943099752-π/2
    2.72873886199503-1.57079632675     		φ = 1.15794254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22429675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.851257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15794254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.345220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60857 KachelY 32921 -0.22429675 1.15794254 -12.851257 66.345220
    Oben rechts KachelX + 1 60858 KachelY 32921 -0.22424882 1.15794254 -12.848511 66.345220
    Unten links KachelX 60857 KachelY + 1 32922 -0.22429675 1.15792330 -12.851257 66.344118
    Unten rechts KachelX + 1 60858 KachelY + 1 32922 -0.22424882 1.15792330 -12.848511 66.344118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15794254-1.15792330) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15794254-1.15792330) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22429675--0.22424882) × cos(1.15794254) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401224968569528 × 6371000     		do = 122.518870889081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22429675--0.22424882) × cos(1.15792330) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401242591941687 × 6371000     		du = 122.524252397779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15794254)-sin(1.15792330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401224968569528-0.401242591941687)×R²
    abs(-0.22424882--0.22429675)×1.76233721588259e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76233721588259e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76233721588259e-05×40589641000000     		ar = 15018.4528846457m²