Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60856 / 83480
↖ ↑ ↗
← S 44.134913°
W 12.854004°		 ← 219.20 m → S 44.134913°
W 12.851257°		 →
↑
219.23 m
↓
↑
219.23 m
↓
S 44.136885°
W 12.854004°		 ← 219.20 m →
48 055 m²		 S 44.136885°
W 12.851257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464298248291016 y=0.636905670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464298248291016 × 217)
    floor (0.464298248291016 × 131072)
    floor (60856.5)     		tx = 60856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636905670166016 × 217)
    floor (0.636905670166016 × 131072)
    floor (83480.5)     		ty = 83480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60856 / 83480 ti = "17/60856/83480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60856/83480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60856 ÷ 217
    60856 ÷ 131072     		x = 0.46429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83480 ÷ 217
    83480 ÷ 131072     		y = 0.63690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.0714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22434469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.2738037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.860179726782288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22434469} λ = -0.22434469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860179726782288))-π/2
    2×atan(0.423086035592329)-π/2
    2×0.400248386068191-π/2
    0.800496772136383-1.57079632675     		φ = -0.77029955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22434469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.854004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77029955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.134913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60856 KachelY 83480 -0.22434469 -0.77029955 -12.854004 -44.134913
    Oben rechts KachelX + 1 60857 KachelY 83480 -0.22429675 -0.77029955 -12.851257 -44.134913
    Unten links KachelX 60856 KachelY + 1 83481 -0.22434469 -0.77033396 -12.854004 -44.136885
    Unten rechts KachelX + 1 60857 KachelY + 1 83481 -0.22429675 -0.77033396 -12.851257 -44.136885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77029955--0.77033396) × R
    3.44099999999292e-05 × 6371000     		dl = 219.226109999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77029955--0.77033396) × R
    3.44099999999292e-05 × 6371000     		dr = 219.226109999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22434469--0.22429675) × cos(-0.77029955) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.717702110094196 × 6371000     		do = 219.204698075191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22434469--0.22429675) × cos(-0.77033396) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.717678148256943 × 6371000     		du = 219.197379513316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77029955)-sin(-0.77033396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717702110094196-0.717678148256943)×R²
    abs(-0.22429675--0.22434469)×2.39618372538386e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39618372538386e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39618372538386e-05×40589641000000     		ar = 48054.5910474552m²