Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60856 / 32936
↖ ↑ ↗
← N 66.328685°
W 12.854004°		 ← 122.63 m → N 66.328685°
W 12.851257°		 →
↑
122.64 m
↓
↑
122.64 m
↓
N 66.327582°
W 12.854004°		 ← 122.63 m →
15 039 m²		 N 66.327582°
W 12.851257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464298248291016 y=0.251285552978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464298248291016 × 217)
    floor (0.464298248291016 × 131072)
    floor (60856.5)     		tx = 60856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251285552978516 × 217)
    floor (0.251285552978516 × 131072)
    floor (32936.5)     		ty = 32936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60856 / 32936 ti = "17/60856/32936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60856/32936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60856 ÷ 217
    60856 ÷ 131072     		x = 0.46429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32936 ÷ 217
    32936 ÷ 131072     		y = 0.25128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.0714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22434469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25128173828125 × 2 - 1) × π
    0.4974365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56274292761383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22434469} λ = -0.22434469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56274292761383))-π/2
    2×atan(4.77189226557673)-π/2
    2×1.36422513237503-π/2
    2.72845026475006-1.57079632675     		φ = 1.15765394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22434469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.854004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15765394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.328685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60856 KachelY 32936 -0.22434469 1.15765394 -12.854004 66.328685
    Oben rechts KachelX + 1 60857 KachelY 32936 -0.22429675 1.15765394 -12.851257 66.328685
    Unten links KachelX 60856 KachelY + 1 32937 -0.22434469 1.15763469 -12.854004 66.327582
    Unten rechts KachelX + 1 60857 KachelY + 1 32937 -0.22429675 1.15763469 -12.851257 66.327582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15765394-1.15763469) × R
    1.92500000000262e-05 × 6371000     		dl = 122.641750000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15765394-1.15763469) × R
    1.92500000000262e-05 × 6371000     		dr = 122.641750000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22434469--0.22429675) × cos(1.15765394) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.401489303553184 × 6371000     		do = 122.625167639877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22434469--0.22429675) × cos(1.15763469) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.401506933855252 × 6371000     		du = 122.630552387933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15765394)-sin(1.15763469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401489303553184-0.401506933855252)×R²
    abs(-0.22429675--0.22434469)×1.7630302068361e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.7630302068361e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.7630302068361e-05×40589641000000     		ar = 15039.2953513418m²