Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60856 / 32617
↖ ↑ ↗
← N 66.678000°
W 12.854004°		 ← 120.92 m → N 66.678000°
W 12.851257°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
N 66.676912°
W 12.854004°		 ← 120.92 m →
14 622 m²		 N 66.676912°
W 12.851257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464298248291016 y=0.248851776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464298248291016 × 217)
    floor (0.464298248291016 × 131072)
    floor (60856.5)     		tx = 60856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248851776123047 × 217)
    floor (0.248851776123047 × 131072)
    floor (32617.5)     		ty = 32617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60856 / 32617 ti = "17/60856/32617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60856/32617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60856 ÷ 217
    60856 ÷ 131072     		x = 0.46429443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32617 ÷ 217
    32617 ÷ 131072     		y = 0.248847961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.0714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22434469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248847961425781 × 2 - 1) × π
    0.502304077148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.57803479859263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22434469} λ = -0.22434469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57803479859263))-π/2
    2×atan(4.84542421406615)-π/2
    2×1.3672734783396-π/2
    2.73454695667919-1.57079632675     		φ = 1.16375063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22434469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.854004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16375063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.678000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60856 KachelY 32617 -0.22434469 1.16375063 -12.854004 66.678000
    Oben rechts KachelX + 1 60857 KachelY 32617 -0.22429675 1.16375063 -12.851257 66.678000
    Unten links KachelX 60856 KachelY + 1 32618 -0.22434469 1.16373165 -12.854004 66.676912
    Unten rechts KachelX + 1 60857 KachelY + 1 32618 -0.22429675 1.16373165 -12.851257 66.676912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16375063-1.16373165) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dl = 120.921580000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16375063-1.16373165) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dr = 120.921580000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22434469--0.22429675) × cos(1.16375063) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.395898139428024 × 6371000     		do = 120.917482199488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22434469--0.22429675) × cos(1.16373165) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.395915568585027 × 6371000     		du = 120.922805512663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16375063)-sin(1.16373165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395898139428024-0.395915568585027)×R²
    abs(-0.22429675--0.22434469)×1.74291570025353e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.74291570025353e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.74291570025353e-05×40589641000000     		ar = 14621.8548492654m²