Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60855 / 83457
↖ ↑ ↗
← S 44.089558°
W 12.856751°		 ← 219.37 m → S 44.089558°
W 12.854004°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 44.091531°
W 12.856751°		 ← 219.37 m →
48 119 m²		 S 44.091531°
W 12.854004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464290618896484 y=0.636730194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464290618896484 × 217)
    floor (0.464290618896484 × 131072)
    floor (60855.5)     		tx = 60855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636730194091797 × 217)
    floor (0.636730194091797 × 131072)
    floor (83457.5)     		ty = 83457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60855 / 83457 ti = "17/60855/83457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60855/83457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60855 ÷ 217
    60855 ÷ 131072     		x = 0.464286804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83457 ÷ 217
    83457 ÷ 131072     		y = 0.636726379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464286804199219 × 2 - 1) × π
    -0.0714263916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22439263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636726379394531 × 2 - 1) × π
    -0.273452758789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.859077178091026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22439263} λ = -0.22439263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859077178091026))-π/2
    2×atan(0.42355276579627)-π/2
    2×0.400644188707478-π/2
    0.801288377414955-1.57079632675     		φ = -0.76950795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22439263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.856751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76950795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.089558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60855 KachelY 83457 -0.22439263 -0.76950795 -12.856751 -44.089558
    Oben rechts KachelX + 1 60856 KachelY 83457 -0.22434469 -0.76950795 -12.854004 -44.089558
    Unten links KachelX 60855 KachelY + 1 83458 -0.22439263 -0.76954238 -12.856751 -44.091531
    Unten rechts KachelX + 1 60856 KachelY + 1 83458 -0.22434469 -0.76954238 -12.854004 -44.091531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76950795--0.76954238) × R
    3.44299999999187e-05 × 6371000     		dl = 219.353529999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76950795--0.76954238) × R
    3.44299999999187e-05 × 6371000     		dr = 219.353529999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22439263--0.22434469) × cos(-0.76950795) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718253116033464 × 6371000     		do = 219.37298947181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22439263--0.22434469) × cos(-0.76954238) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718229159836713 × 6371000     		du = 219.36567263269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76950795)-sin(-0.76954238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718253116033464-0.718229159836713)×R²
    abs(-0.22434469--0.22439263)×2.3956196750885e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3956196750885e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3956196750885e-05×40589641000000     		ar = 48119.437144687m²