Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60854 / 32919
↖ ↑ ↗
← N 66.347424°
W 12.859497°		 ← 122.51 m → N 66.347424°
W 12.856751°		 →
↑
122.51 m
↓
↑
122.51 m
↓
N 66.346322°
W 12.859497°		 ← 122.51 m →
15 009 m²		 N 66.346322°
W 12.856751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464282989501953 y=0.251155853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464282989501953 × 217)
    floor (0.464282989501953 × 131072)
    floor (60854.5)     		tx = 60854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251155853271484 × 217)
    floor (0.251155853271484 × 131072)
    floor (32919.5)     		ty = 32919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60854 / 32919 ti = "17/60854/32919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60854/32919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60854 ÷ 217
    60854 ÷ 131072     		x = 0.464279174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32919 ÷ 217
    32919 ÷ 131072     		y = 0.251152038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464279174804688 × 2 - 1) × π
    -0.071441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22444056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251152038574219 × 2 - 1) × π
    0.497695922851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.56355785490737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22444056} λ = -0.22444056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56355785490737))-π/2
    2×atan(4.77578259577862)-π/2
    2×1.36438866363426-π/2
    2.72877732726853-1.57079632675     		φ = 1.15798100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22444056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.859497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15798100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.347424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60854 KachelY 32919 -0.22444056 1.15798100 -12.859497 66.347424
    Oben rechts KachelX + 1 60855 KachelY 32919 -0.22439263 1.15798100 -12.856751 66.347424
    Unten links KachelX 60854 KachelY + 1 32920 -0.22444056 1.15796177 -12.859497 66.346322
    Unten rechts KachelX + 1 60855 KachelY + 1 32920 -0.22439263 1.15796177 -12.856751 66.346322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15798100-1.15796177) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dl = 122.514329999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15798100-1.15796177) × R
    1.92299999999257e-05 × 6371000     		dr = 122.514329999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22444056--0.22439263) × cos(1.15798100) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401189739699544 × 6371000     		do = 122.508113329828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22444056--0.22439263) × cos(1.15796177) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401207354208718 × 6371000     		du = 122.513492132107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15798100)-sin(1.15796177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401189739699544-0.401207354208718)×R²
    abs(-0.22439263--0.22444056)×1.76145091742019e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76145091742019e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76145091742019e-05×40589641000000     		ar = 15009.3289148522m²