Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60852 / 26404
↖ ↑ ↗
← N 72.577540°
W 12.864990°		 ← 91.45 m → N 72.577540°
W 12.862244°		 →
↑
91.49 m
↓
↑
91.49 m
↓
N 72.576717°
W 12.864990°		 ← 91.45 m →
8 367 m²		 N 72.576717°
W 12.862244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464267730712891 y=0.201450347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464267730712891 × 217)
    floor (0.464267730712891 × 131072)
    floor (60852.5)     		tx = 60852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201450347900391 × 217)
    floor (0.201450347900391 × 131072)
    floor (26404.5)     		ty = 26404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60852 / 26404 ti = "17/60852/26404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60852/26404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60852 ÷ 217
    60852 ÷ 131072     		x = 0.464263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26404 ÷ 217
    26404 ÷ 131072     		y = 0.201446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.07147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22453644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201446533203125 × 2 - 1) × π
    0.59710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87586675593204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22453644} λ = -0.22453644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87586675593204))-π/2
    2×atan(6.52647352912659)-π/2
    2×1.41875667732572-π/2
    2.83751335465143-1.57079632675     		φ = 1.26671703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22453644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.864990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26671703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.577540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60852 KachelY 26404 -0.22453644 1.26671703 -12.864990 72.577540
    Oben rechts KachelX + 1 60853 KachelY 26404 -0.22448850 1.26671703 -12.862244 72.577540
    Unten links KachelX 60852 KachelY + 1 26405 -0.22453644 1.26670267 -12.864990 72.576717
    Unten rechts KachelX + 1 60853 KachelY + 1 26405 -0.22448850 1.26670267 -12.862244 72.576717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26671703-1.26670267) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dl = 91.487559999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26671703-1.26670267) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dr = 91.487559999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22453644--0.22448850) × cos(1.26671703) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.299414838108519 × 6371000     		do = 91.4489984962675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22453644--0.22448850) × cos(1.26670267) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.299428539284345 × 6371000     		du = 91.4531831880333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26671703)-sin(1.26670267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299414838108519-0.299428539284345)×R²
    abs(-0.22448850--0.22453644)×1.37011758267747e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37011758267747e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37011758267747e-05×40589641000000     		ar = 8366.63716070751m²