Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60851 / 83445
↖ ↑ ↗
← S 44.065880°
W 12.867737°		 ← 219.42 m → S 44.065880°
W 12.864990°		 →
↑
219.42 m
↓
↑
219.42 m
↓
S 44.067854°
W 12.867737°		 ← 219.41 m →
48 143 m²		 S 44.067854°
W 12.864990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464260101318359 y=0.636638641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464260101318359 × 217)
    floor (0.464260101318359 × 131072)
    floor (60851.5)     		tx = 60851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636638641357422 × 217)
    floor (0.636638641357422 × 131072)
    floor (83445.5)     		ty = 83445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60851 / 83445 ti = "17/60851/83445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60851/83445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60851 ÷ 217
    60851 ÷ 131072     		x = 0.464256286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83445 ÷ 217
    83445 ÷ 131072     		y = 0.636634826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464256286621094 × 2 - 1) × π
    -0.0714874267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22458437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636634826660156 × 2 - 1) × π
    -0.273269653320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.858501935295586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22458437} λ = -0.22458437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858501935295586))-π/2
    2×atan(0.423796481564432)-π/2
    2×0.400850815014536-π/2
    0.801701630029071-1.57079632675     		φ = -0.76909470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22458437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.867737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76909470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.065880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60851 KachelY 83445 -0.22458437 -0.76909470 -12.867737 -44.065880
    Oben rechts KachelX + 1 60852 KachelY 83445 -0.22453644 -0.76909470 -12.864990 -44.065880
    Unten links KachelX 60851 KachelY + 1 83446 -0.22458437 -0.76912914 -12.867737 -44.067854
    Unten rechts KachelX + 1 60852 KachelY + 1 83446 -0.22453644 -0.76912914 -12.864990 -44.067854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76909470--0.76912914) × R
    3.44399999999689e-05 × 6371000     		dl = 219.417239999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76909470--0.76912914) × R
    3.44399999999689e-05 × 6371000     		dr = 219.417239999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22458437--0.22453644) × cos(-0.76909470) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.718540586568071 × 6371000     		do = 219.415012151824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22458437--0.22453644) × cos(-0.76912914) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.718516633637544 × 6371000     		du = 219.407697836334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76909470)-sin(-0.76912914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718540586568071-0.718516633637544)×R²
    abs(-0.22453644--0.22458437)×2.3952930526705e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3952930526705e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3952930526705e-05×40589641000000     		ar = 48142.6339423028m²