Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60849 / 83568
↖ ↑ ↗
← S 44.308127°
W 12.873230°		 ← 218.56 m → S 44.308127°
W 12.870483°		 →
↑
218.53 m
↓
↑
218.53 m
↓
S 44.310092°
W 12.873230°		 ← 218.55 m →
47 760 m²		 S 44.310092°
W 12.870483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464244842529297 y=0.637577056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464244842529297 × 217)
    floor (0.464244842529297 × 131072)
    floor (60849.5)     		tx = 60849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637577056884766 × 217)
    floor (0.637577056884766 × 131072)
    floor (83568.5)     		ty = 83568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60849 / 83568 ti = "17/60849/83568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60849/83568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60849 ÷ 217
    60849 ÷ 131072     		x = 0.464241027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83568 ÷ 217
    83568 ÷ 131072     		y = 0.6375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464241027832031 × 2 - 1) × π
    -0.0715179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22468025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.275146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.864398173948853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22468025} λ = -0.22468025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864398173948853))-π/2
    2×atan(0.421305028687166)-π/2
    2×0.398736815385277-π/2
    0.797473630770553-1.57079632675     		φ = -0.77332270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22468025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.873230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77332270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.308127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60849 KachelY 83568 -0.22468025 -0.77332270 -12.873230 -44.308127
    Oben rechts KachelX + 1 60850 KachelY 83568 -0.22463231 -0.77332270 -12.870483 -44.308127
    Unten links KachelX 60849 KachelY + 1 83569 -0.22468025 -0.77335700 -12.873230 -44.310092
    Unten rechts KachelX + 1 60850 KachelY + 1 83569 -0.22463231 -0.77335700 -12.870483 -44.310092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77332270--0.77335700) × R
    3.42999999999316e-05 × 6371000     		dl = 218.525299999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77332270--0.77335700) × R
    3.42999999999316e-05 × 6371000     		dr = 218.525299999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22468025--0.22463231) × cos(-0.77332270) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.715593662326088 × 6371000     		do = 218.560723855239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22468025--0.22463231) × cos(-0.77335700) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.71556970277914 × 6371000     		du = 218.553405992882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77332270)-sin(-0.77335700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715593662326088-0.71556970277914)×R²
    abs(-0.22463231--0.22468025)×2.39595469477827e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39595469477827e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39595469477827e-05×40589641000000     		ar = 47760.2481841128m²