Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60849 / 40355
↖ ↑ ↗
← N 56.699982°
W 12.873230°		 ← 167.69 m → N 56.699982°
W 12.870483°		 →
↑
167.68 m
↓
↑
167.68 m
↓
N 56.698474°
W 12.873230°		 ← 167.69 m →
28 119 m²		 N 56.698474°
W 12.870483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464244842529297 y=0.307888031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464244842529297 × 217)
    floor (0.464244842529297 × 131072)
    floor (60849.5)     		tx = 60849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307888031005859 × 217)
    floor (0.307888031005859 × 131072)
    floor (40355.5)     		ty = 40355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60849 / 40355 ti = "17/60849/40355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60849/40355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60849 ÷ 217
    60849 ÷ 131072     		x = 0.464241027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40355 ÷ 217
    40355 ÷ 131072     		y = 0.307884216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464241027832031 × 2 - 1) × π
    -0.0715179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22468025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307884216308594 × 2 - 1) × π
    0.384231567382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.20709906933263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22468025} λ = -0.22468025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20709906933263))-π/2
    2×atan(3.34377052289856)-π/2
    2×1.28019884990555-π/2
    2.5603976998111-1.57079632675     		φ = 0.98960137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22468025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.873230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98960137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.699982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60849 KachelY 40355 -0.22468025 0.98960137 -12.873230 56.699982
    Oben rechts KachelX + 1 60850 KachelY 40355 -0.22463231 0.98960137 -12.870483 56.699982
    Unten links KachelX 60849 KachelY + 1 40356 -0.22468025 0.98957505 -12.873230 56.698474
    Unten rechts KachelX + 1 60850 KachelY + 1 40356 -0.22463231 0.98957505 -12.870483 56.698474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98960137-0.98957505) × R
    2.63200000000241e-05 × 6371000     		dl = 167.684720000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98960137-0.98957505) × R
    2.63200000000241e-05 × 6371000     		dr = 167.684720000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22468025--0.22463231) × cos(0.98960137) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54902308201359 × 6371000     		do = 167.685781101068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22468025--0.22463231) × cos(0.98957505) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549045080268608 × 6371000     		du = 167.692499934386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98960137)-sin(0.98957505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54902308201359-0.549045080268608)×R²
    abs(-0.22463231--0.22468025)×2.19982550183628e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19982550183628e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19982550183628e-05×40589641000000     		ar = 28118.9065763126m²