Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60849 / 40354
↖ ↑ ↗
← N 56.701490°
W 12.873230°		 ← 167.68 m → N 56.701490°
W 12.870483°		 →
↑
167.68 m
↓
↑
167.68 m
↓
N 56.699982°
W 12.873230°		 ← 167.69 m →
28 118 m²		 N 56.699982°
W 12.870483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464244842529297 y=0.307880401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464244842529297 × 217)
    floor (0.464244842529297 × 131072)
    floor (60849.5)     		tx = 60849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307880401611328 × 217)
    floor (0.307880401611328 × 131072)
    floor (40354.5)     		ty = 40354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60849 / 40354 ti = "17/60849/40354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60849/40354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60849 ÷ 217
    60849 ÷ 131072     		x = 0.464241027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40354 ÷ 217
    40354 ÷ 131072     		y = 0.307876586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464241027832031 × 2 - 1) × π
    -0.0715179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22468025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307876586914062 × 2 - 1) × π
    0.384246826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20714700623225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22468025} λ = -0.22468025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20714700623225))-π/2
    2×atan(3.34393081673244)-π/2
    2×1.28021200887406-π/2
    2.56042401774812-1.57079632675     		φ = 0.98962769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22468025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.873230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98962769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.701490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60849 KachelY 40354 -0.22468025 0.98962769 -12.873230 56.701490
    Oben rechts KachelX + 1 60850 KachelY 40354 -0.22463231 0.98962769 -12.870483 56.701490
    Unten links KachelX 60849 KachelY + 1 40355 -0.22468025 0.98960137 -12.873230 56.699982
    Unten rechts KachelX + 1 60850 KachelY + 1 40355 -0.22463231 0.98960137 -12.870483 56.699982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98962769-0.98960137) × R
    2.63199999999131e-05 × 6371000     		dl = 167.684719999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98962769-0.98960137) × R
    2.63199999999131e-05 × 6371000     		dr = 167.684719999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22468025--0.22463231) × cos(0.98962769) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54900108337824 × 6371000     		do = 167.679062151588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22468025--0.22463231) × cos(0.98960137) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54902308201359 × 6371000     		du = 167.685781101068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98962769)-sin(0.98960137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54900108337824-0.54902308201359)×R²
    abs(-0.22463231--0.22468025)×2.19986353497958e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19986353497958e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19986353497958e-05×40589641000000     		ar = 28117.779920902m²