Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60849 / 40305
↖ ↑ ↗
← N 56.775304°
W 12.873230°		 ← 167.35 m → N 56.775304°
W 12.870483°		 →
↑
167.37 m
↓
↑
167.37 m
↓
N 56.773798°
W 12.873230°		 ← 167.36 m →
28 009 m²		 N 56.773798°
W 12.870483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464244842529297 y=0.307506561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464244842529297 × 217)
    floor (0.464244842529297 × 131072)
    floor (60849.5)     		tx = 60849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307506561279297 × 217)
    floor (0.307506561279297 × 131072)
    floor (40305.5)     		ty = 40305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60849 / 40305 ti = "17/60849/40305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60849/40305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60849 ÷ 217
    60849 ÷ 131072     		x = 0.464241027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40305 ÷ 217
    40305 ÷ 131072     		y = 0.307502746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464241027832031 × 2 - 1) × π
    -0.0715179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22468025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307502746582031 × 2 - 1) × π
    0.384994506835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.20949591431364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22468025} λ = -0.22468025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20949591431364))-π/2
    2×atan(3.35179463492887)-π/2
    2×1.28085615271494-π/2
    2.56171230542988-1.57079632675     		φ = 0.99091598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22468025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.873230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99091598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.775304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60849 KachelY 40305 -0.22468025 0.99091598 -12.873230 56.775304
    Oben rechts KachelX + 1 60850 KachelY 40305 -0.22463231 0.99091598 -12.870483 56.775304
    Unten links KachelX 60849 KachelY + 1 40306 -0.22468025 0.99088971 -12.873230 56.773798
    Unten rechts KachelX + 1 60850 KachelY + 1 40306 -0.22463231 0.99088971 -12.870483 56.773798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99091598-0.99088971) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dl = 167.366169999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99091598-0.99088971) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dr = 167.366169999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22468025--0.22463231) × cos(0.99091598) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547923847432102 × 6371000     		do = 167.350046565584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22468025--0.22463231) × cos(0.99088971) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547945822839288 × 6371000     		du = 167.356758420586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99091598)-sin(0.99088971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547923847432102-0.547945822839288)×R²
    abs(-0.22463231--0.22468025)×2.19754071867362e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19754071867362e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19754071867362e-05×40589641000000     		ar = 28009.2980132167m²