Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60848 / 32112
↖ ↑ ↗
← N 67.221053°
W 12.875977°		 ← 118.25 m → N 67.221053°
W 12.873230°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
N 67.219990°
W 12.875977°		 ← 118.26 m →
13 983 m²		 N 67.219990°
W 12.873230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464237213134766 y=0.244998931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464237213134766 × 217)
    floor (0.464237213134766 × 131072)
    floor (60848.5)     		tx = 60848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244998931884766 × 217)
    floor (0.244998931884766 × 131072)
    floor (32112.5)     		ty = 32112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60848 / 32112 ti = "17/60848/32112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60848/32112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60848 ÷ 217
    60848 ÷ 131072     		x = 0.4642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32112 ÷ 217
    32112 ÷ 131072     		y = 0.2449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22472819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2449951171875 × 2 - 1) × π
    0.510009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60224293290076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22472819} λ = -0.22472819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60224293290076))-π/2
    2×atan(4.9641542118272)-π/2
    2×1.3720125138575-π/2
    2.744025027715-1.57079632675     		φ = 1.17322870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22472819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17322870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.221053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60848 KachelY 32112 -0.22472819 1.17322870 -12.875977 67.221053
    Oben rechts KachelX + 1 60849 KachelY 32112 -0.22468025 1.17322870 -12.873230 67.221053
    Unten links KachelX 60848 KachelY + 1 32113 -0.22472819 1.17321014 -12.875977 67.219990
    Unten rechts KachelX + 1 60849 KachelY + 1 32113 -0.22468025 1.17321014 -12.873230 67.219990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17322870-1.17321014) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17322870-1.17321014) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22472819--0.22468025) × cos(1.17322870) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387176828451289 × 6371000     		do = 118.253769340579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22472819--0.22468025) × cos(1.17321014) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387193940806294 × 6371000     		du = 118.25899589427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17322870)-sin(1.17321014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387176828451289-0.387193940806294)×R²
    abs(-0.22468025--0.22472819)×1.71123550051777e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71123550051777e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71123550051777e-05×40589641000000     		ar = 13983.3158378454m²