Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60847 / 41003
↖ ↑ ↗
← N 55.710092°
W 12.878723°		 ← 172.04 m → N 55.710092°
W 12.875977°		 →
↑
172.02 m
↓
↑
172.02 m
↓
N 55.708545°
W 12.878723°		 ← 172.04 m →
29 594 m²		 N 55.708545°
W 12.875977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464229583740234 y=0.312831878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464229583740234 × 217)
    floor (0.464229583740234 × 131072)
    floor (60847.5)     		tx = 60847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312831878662109 × 217)
    floor (0.312831878662109 × 131072)
    floor (41003.5)     		ty = 41003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60847 / 41003 ti = "17/60847/41003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60847/41003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60847 ÷ 217
    60847 ÷ 131072     		x = 0.464225769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41003 ÷ 217
    41003 ÷ 131072     		y = 0.312828063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464225769042969 × 2 - 1) × π
    -0.0715484619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22477612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312828063964844 × 2 - 1) × π
    0.374343872070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.17603595837884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22477612} λ = -0.22477612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17603595837884))-π/2
    2×atan(3.241499263356)-π/2
    2×1.27156043560843-π/2
    2.54312087121685-1.57079632675     		φ = 0.97232454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22477612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.878723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97232454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.710092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60847 KachelY 41003 -0.22477612 0.97232454 -12.878723 55.710092
    Oben rechts KachelX + 1 60848 KachelY 41003 -0.22472819 0.97232454 -12.875977 55.710092
    Unten links KachelX 60847 KachelY + 1 41004 -0.22477612 0.97229754 -12.878723 55.708545
    Unten rechts KachelX + 1 60848 KachelY + 1 41004 -0.22472819 0.97229754 -12.875977 55.708545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97232454-0.97229754) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dl = 172.016999999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97232454-0.97229754) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dr = 172.016999999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22477612--0.22472819) × cos(0.97232454) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563380525757693 × 6371000     		do = 172.035021007842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22477612--0.22472819) × cos(0.97229754) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.56340283288605 × 6371000     		du = 172.041832757841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97232454)-sin(0.97229754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563380525757693-0.56340283288605)×R²
    abs(-0.22472819--0.22477612)×2.23071283573795e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23071283573795e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23071283573795e-05×40589641000000     		ar = 29593.5340790256m²