Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60846 / 83461
↖ ↑ ↗
← S 44.097448°
W 12.881470°		 ← 219.34 m → S 44.097448°
W 12.878723°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 44.099421°
W 12.881470°		 ← 219.34 m →
48 113 m²		 S 44.099421°
W 12.878723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464221954345703 y=0.636760711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464221954345703 × 217)
    floor (0.464221954345703 × 131072)
    floor (60846.5)     		tx = 60846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636760711669922 × 217)
    floor (0.636760711669922 × 131072)
    floor (83461.5)     		ty = 83461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60846 / 83461 ti = "17/60846/83461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60846/83461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60846 ÷ 217
    60846 ÷ 131072     		x = 0.464218139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83461 ÷ 217
    83461 ÷ 131072     		y = 0.636756896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464218139648438 × 2 - 1) × π
    -0.071563720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22482406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636756896972656 × 2 - 1) × π
    -0.273513793945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.859268925689507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22482406} λ = -0.22482406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859268925689507))-π/2
    2×atan(0.423471558356513)-π/2
    2×0.400575331645971-π/2
    0.801150663291943-1.57079632675     		φ = -0.76964566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22482406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.881470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76964566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.097448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60846 KachelY 83461 -0.22482406 -0.76964566 -12.881470 -44.097448
    Oben rechts KachelX + 1 60847 KachelY 83461 -0.22477612 -0.76964566 -12.878723 -44.097448
    Unten links KachelX 60846 KachelY + 1 83462 -0.22482406 -0.76968009 -12.881470 -44.099421
    Unten rechts KachelX + 1 60847 KachelY + 1 83462 -0.22477612 -0.76968009 -12.878723 -44.099421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76964566--0.76968009) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76964566--0.76968009) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22482406--0.22477612) × cos(-0.76964566) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718157293096941 × 6371000     		do = 219.343722680513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22482406--0.22477612) × cos(-0.76968009) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718133333494981 × 6371000     		du = 219.336404801355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76964566)-sin(-0.76968009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718157293096941-0.718133333494981)×R²
    abs(-0.22477612--0.22482406)×2.39596019603328e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39596019603328e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39596019603328e-05×40589641000000     		ar = 48113.017256639m²