Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60846 / 32762
↖ ↑ ↗
← N 66.519827°
W 12.881470°		 ← 121.69 m → N 66.519827°
W 12.878723°		 →
↑
121.69 m
↓
↑
121.69 m
↓
N 66.518733°
W 12.881470°		 ← 121.70 m →
14 808 m²		 N 66.518733°
W 12.878723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464221954345703 y=0.249958038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464221954345703 × 217)
    floor (0.464221954345703 × 131072)
    floor (60846.5)     		tx = 60846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249958038330078 × 217)
    floor (0.249958038330078 × 131072)
    floor (32762.5)     		ty = 32762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60846 / 32762 ti = "17/60846/32762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60846/32762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60846 ÷ 217
    60846 ÷ 131072     		x = 0.464218139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32762 ÷ 217
    32762 ÷ 131072     		y = 0.249954223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464218139648438 × 2 - 1) × π
    -0.071563720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22482406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249954223632812 × 2 - 1) × π
    0.500091552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.57108394814772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22482406} λ = -0.22482406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57108394814772))-π/2
    2×atan(4.81186117597235)-π/2
    2×1.36589316517189-π/2
    2.73178633034379-1.57079632675     		φ = 1.16099000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22482406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.881470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16099000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.519827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60846 KachelY 32762 -0.22482406 1.16099000 -12.881470 66.519827
    Oben rechts KachelX + 1 60847 KachelY 32762 -0.22477612 1.16099000 -12.878723 66.519827
    Unten links KachelX 60846 KachelY + 1 32763 -0.22482406 1.16097090 -12.881470 66.518733
    Unten rechts KachelX + 1 60847 KachelY + 1 32763 -0.22477612 1.16097090 -12.878723 66.518733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16099000-1.16097090) × R
    1.91000000000496e-05 × 6371000     		dl = 121.686100000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16099000-1.16097090) × R
    1.91000000000496e-05 × 6371000     		dr = 121.686100000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22482406--0.22477612) × cos(1.16099000) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.398431698780531 × 6371000     		do = 121.691296439491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22482406--0.22477612) × cos(1.16097090) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.39844921718976 × 6371000     		du = 121.696647012594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16099000)-sin(1.16097090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398431698780531-0.39844921718976)×R²
    abs(-0.22477612--0.22482406)×1.75184092292557e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.75184092292557e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.75184092292557e-05×40589641000000     		ar = 14808.4648133171m²