Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60845 / 83527
↖ ↑ ↗
← S 44.227488°
W 12.884217°		 ← 218.86 m → S 44.227488°
W 12.881470°		 →
↑
218.84 m
↓
↑
218.84 m
↓
S 44.229456°
W 12.884217°		 ← 218.85 m →
47 896 m²		 S 44.229456°
W 12.881470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464214324951172 y=0.637264251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464214324951172 × 217)
    floor (0.464214324951172 × 131072)
    floor (60845.5)     		tx = 60845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637264251708984 × 217)
    floor (0.637264251708984 × 131072)
    floor (83527.5)     		ty = 83527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60845 / 83527 ti = "17/60845/83527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60845/83527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60845 ÷ 217
    60845 ÷ 131072     		x = 0.464210510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83527 ÷ 217
    83527 ÷ 131072     		y = 0.637260437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464210510253906 × 2 - 1) × π
    -0.0715789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22487200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637260437011719 × 2 - 1) × π
    -0.274520874023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.86243276106443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22487200} λ = -0.22487200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86243276106443))-π/2
    2×atan(0.422133881270782)-π/2
    2×0.399440516593889-π/2
    0.798881033187778-1.57079632675     		φ = -0.77191529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22487200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.884217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77191529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.227488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60845 KachelY 83527 -0.22487200 -0.77191529 -12.884217 -44.227488
    Oben rechts KachelX + 1 60846 KachelY 83527 -0.22482406 -0.77191529 -12.881470 -44.227488
    Unten links KachelX 60845 KachelY + 1 83528 -0.22487200 -0.77194964 -12.884217 -44.229456
    Unten rechts KachelX + 1 60846 KachelY + 1 83528 -0.22482406 -0.77194964 -12.881470 -44.229456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77191529--0.77194964) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dl = 218.84384999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77191529--0.77194964) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dr = 218.84384999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22487200--0.22482406) × cos(-0.77191529) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716576052796621 × 6371000     		do = 218.86077119167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22487200--0.22482406) × cos(-0.77194964) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.71655209294082 × 6371000     		du = 218.853453234982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77191529)-sin(-0.77194964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716576052796621-0.71655209294082)×R²
    abs(-0.22482406--0.22487200)×2.3959855801059e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3959855801059e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3959855801059e-05×40589641000000     		ar = 47895.5330413819m²