Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60844 / 41001
↖ ↑ ↗
← N 55.713188°
W 12.886963°		 ← 172.02 m → N 55.713188°
W 12.884217°		 →
↑
172.08 m
↓
↑
172.08 m
↓
N 55.711640°
W 12.886963°		 ← 172.03 m →
29 602 m²		 N 55.711640°
W 12.884217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464206695556641 y=0.312816619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464206695556641 × 217)
    floor (0.464206695556641 × 131072)
    floor (60844.5)     		tx = 60844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312816619873047 × 217)
    floor (0.312816619873047 × 131072)
    floor (41001.5)     		ty = 41001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60844 / 41001 ti = "17/60844/41001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60844/41001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60844 ÷ 217
    60844 ÷ 131072     		x = 0.464202880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41001 ÷ 217
    41001 ÷ 131072     		y = 0.312812805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.07159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22491993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312812805175781 × 2 - 1) × π
    0.374374389648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.17613183217808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22491993} λ = -0.22491993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17613183217808))-π/2
    2×atan(3.24181005310367)-π/2
    2×1.27158744125437-π/2
    2.54317488250873-1.57079632675     		φ = 0.97237856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22491993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.886963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97237856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.713188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60844 KachelY 41001 -0.22491993 0.97237856 -12.886963 55.713188
    Oben rechts KachelX + 1 60845 KachelY 41001 -0.22487200 0.97237856 -12.884217 55.713188
    Unten links KachelX 60844 KachelY + 1 41002 -0.22491993 0.97235155 -12.886963 55.711640
    Unten rechts KachelX + 1 60845 KachelY + 1 41002 -0.22487200 0.97235155 -12.884217 55.711640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97237856-0.97235155) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dl = 172.080710000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97237856-0.97235155) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dr = 172.080710000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22491993--0.22487200) × cos(0.97237856) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563335893744322 × 6371000     		do = 172.021392085636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22491993--0.22487200) × cos(0.97235155) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563358209956503 × 6371000     		du = 172.02820660949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97237856)-sin(0.97235155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563335893744322-0.563358209956503)×R²
    abs(-0.22487200--0.22491993)×2.23162121817388e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23162121817388e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23162121817388e-05×40589641000000     		ar = 29602.1496112109m²