Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60844 / 32724
↖ ↑ ↗
← N 66.561377°
W 12.886963°		 ← 121.46 m → N 66.561377°
W 12.884217°		 →
↑
121.49 m
↓
↑
121.49 m
↓
N 66.560284°
W 12.886963°		 ← 121.47 m →
14 757 m²		 N 66.560284°
W 12.884217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464206695556641 y=0.249668121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464206695556641 × 217)
    floor (0.464206695556641 × 131072)
    floor (60844.5)     		tx = 60844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249668121337891 × 217)
    floor (0.249668121337891 × 131072)
    floor (32724.5)     		ty = 32724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60844 / 32724 ti = "17/60844/32724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60844/32724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60844 ÷ 217
    60844 ÷ 131072     		x = 0.464202880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32724 ÷ 217
    32724 ÷ 131072     		y = 0.249664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.07159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22491993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249664306640625 × 2 - 1) × π
    0.50067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57290555033328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22491993} λ = -0.22491993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57290555033328))-π/2
    2×atan(4.82063446109882)-π/2
    2×1.36625575417801-π/2
    2.73251150835603-1.57079632675     		φ = 1.16171518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22491993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.886963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16171518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.561377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60844 KachelY 32724 -0.22491993 1.16171518 -12.886963 66.561377
    Oben rechts KachelX + 1 60845 KachelY 32724 -0.22487200 1.16171518 -12.884217 66.561377
    Unten links KachelX 60844 KachelY + 1 32725 -0.22491993 1.16169611 -12.886963 66.560284
    Unten rechts KachelX + 1 60845 KachelY + 1 32725 -0.22487200 1.16169611 -12.884217 66.560284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16171518-1.16169611) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dl = 121.494970000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16171518-1.16169611) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dr = 121.494970000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22491993--0.22487200) × cos(1.16171518) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.397766460424327 × 6371000     		do = 121.462773821091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22491993--0.22487200) × cos(1.16169611) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.39778395682335 × 6371000     		du = 121.468116557015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16171518)-sin(1.16169611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397766460424327-0.39778395682335)×R²
    abs(-0.22487200--0.22491993)×1.74963990232646e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.74963990232646e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.74963990232646e-05×40589641000000     		ar = 14757.4406196829m²