Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60843 / 41085
↖ ↑ ↗
← N 55.583002°
W 12.889709°		 ← 172.63 m → N 55.583002°
W 12.886963°		 →
↑
172.65 m
↓
↑
172.65 m
↓
N 55.581450°
W 12.889709°		 ← 172.64 m →
29 806 m²		 N 55.581450°
W 12.886963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464199066162109 y=0.313457489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464199066162109 × 217)
    floor (0.464199066162109 × 131072)
    floor (60843.5)     		tx = 60843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313457489013672 × 217)
    floor (0.313457489013672 × 131072)
    floor (41085.5)     		ty = 41085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60843 / 41085 ti = "17/60843/41085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60843/41085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60843 ÷ 217
    60843 ÷ 131072     		x = 0.464195251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41085 ÷ 217
    41085 ÷ 131072     		y = 0.313453674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464195251464844 × 2 - 1) × π
    -0.0716094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22496787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313453674316406 × 2 - 1) × π
    0.373092651367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.17210513260999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22496787} λ = -0.22496787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17210513260999))-π/2
    2×atan(3.22878250457775)-π/2
    2×1.2704513612171-π/2
    2.54090272243421-1.57079632675     		φ = 0.97010640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22496787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.889709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97010640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.583002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60843 KachelY 41085 -0.22496787 0.97010640 -12.889709 55.583002
    Oben rechts KachelX + 1 60844 KachelY 41085 -0.22491993 0.97010640 -12.886963 55.583002
    Unten links KachelX 60843 KachelY + 1 41086 -0.22496787 0.97007930 -12.889709 55.581450
    Unten rechts KachelX + 1 60844 KachelY + 1 41086 -0.22491993 0.97007930 -12.886963 55.581450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97010640-0.97007930) × R
    2.71000000000576e-05 × 6371000     		dl = 172.654100000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97010640-0.97007930) × R
    2.71000000000576e-05 × 6371000     		dr = 172.654100000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22496787--0.22491993) × cos(0.97010640) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565211760120754 × 6371000     		do = 172.630220091571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22496787--0.22491993) × cos(0.97007930) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.565234115945915 × 6371000     		du = 172.637048136014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97010640)-sin(0.97007930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565211760120754-0.565234115945915)×R²
    abs(-0.22491993--0.22496787)×2.2355825160858e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2355825160858e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2355825160858e-05×40589641000000     		ar = 29805.9047294903m²