Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60843 / 32718
↖ ↑ ↗
← N 66.567931°
W 12.889709°		 ← 121.46 m → N 66.567931°
W 12.886963°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
N 66.566839°
W 12.889709°		 ← 121.46 m →
14 749 m²		 N 66.566839°
W 12.886963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464199066162109 y=0.249622344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464199066162109 × 217)
    floor (0.464199066162109 × 131072)
    floor (60843.5)     		tx = 60843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249622344970703 × 217)
    floor (0.249622344970703 × 131072)
    floor (32718.5)     		ty = 32718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60843 / 32718 ti = "17/60843/32718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60843/32718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60843 ÷ 217
    60843 ÷ 131072     		x = 0.464195251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32718 ÷ 217
    32718 ÷ 131072     		y = 0.249618530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464195251464844 × 2 - 1) × π
    -0.0716094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22496787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249618530273438 × 2 - 1) × π
    0.500762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.573193171731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22496787} λ = -0.22496787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.573193171731))-π/2
    2×atan(4.8220211781356)-π/2
    2×1.36631294970338-π/2
    2.73262589940676-1.57079632675     		φ = 1.16182957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22496787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.889709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16182957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.567931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60843 KachelY 32718 -0.22496787 1.16182957 -12.889709 66.567931
    Oben rechts KachelX + 1 60844 KachelY 32718 -0.22491993 1.16182957 -12.886963 66.567931
    Unten links KachelX 60843 KachelY + 1 32719 -0.22496787 1.16181051 -12.889709 66.566839
    Unten rechts KachelX + 1 60844 KachelY + 1 32719 -0.22491993 1.16181051 -12.886963 66.566839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16182957-1.16181051) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dl = 121.43126000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16182957-1.16181051) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dr = 121.43126000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22496787--0.22491993) × cos(1.16182957) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.397661506518648 × 6371000     		do = 121.456059897964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22496787--0.22491993) × cos(1.16181051) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.397678994610025 × 6371000     		du = 121.461401211213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16182957)-sin(1.16181051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397661506518648-0.397678994610025)×R²
    abs(-0.22491993--0.22496787)×1.74880913764164e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.74880913764164e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.74880913764164e-05×40589641000000     		ar = 14748.8866897043m²