Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60841 / 40356
↖ ↑ ↗
← N 56.698474°
W 12.895202°		 ← 167.66 m → N 56.698474°
W 12.892456°		 →
↑
167.68 m
↓
↑
167.68 m
↓
N 56.696966°
W 12.895202°		 ← 167.66 m →
28 114 m²		 N 56.696966°
W 12.892456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464183807373047 y=0.307895660400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464183807373047 × 217)
    floor (0.464183807373047 × 131072)
    floor (60841.5)     		tx = 60841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307895660400391 × 217)
    floor (0.307895660400391 × 131072)
    floor (40356.5)     		ty = 40356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60841 / 40356 ti = "17/60841/40356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60841/40356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60841 ÷ 217
    60841 ÷ 131072     		x = 0.464179992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40356 ÷ 217
    40356 ÷ 131072     		y = 0.307891845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464179992675781 × 2 - 1) × π
    -0.0716400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22506374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307891845703125 × 2 - 1) × π
    0.38421630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20705113243301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22506374} λ = -0.22506374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20705113243301))-π/2
    2×atan(3.3436102367485)-π/2
    2×1.2801856904098-π/2
    2.56037138081961-1.57079632675     		φ = 0.98957505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22506374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.895202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98957505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.698474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60841 KachelY 40356 -0.22506374 0.98957505 -12.895202 56.698474
    Oben rechts KachelX + 1 60842 KachelY 40356 -0.22501581 0.98957505 -12.892456 56.698474
    Unten links KachelX 60841 KachelY + 1 40357 -0.22506374 0.98954873 -12.895202 56.696966
    Unten rechts KachelX + 1 60842 KachelY + 1 40357 -0.22501581 0.98954873 -12.892456 56.696966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98957505-0.98954873) × R
    2.63200000000241e-05 × 6371000     		dl = 167.684720000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98957505-0.98954873) × R
    2.63200000000241e-05 × 6371000     		dr = 167.684720000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22506374--0.22501581) × cos(0.98957505) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549045080268608 × 6371000     		do = 167.657520272341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22506374--0.22501581) × cos(0.98954873) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549067078143279 × 6371000     		du = 167.664237588006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98957505)-sin(0.98954873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549045080268608-0.549067078143279)×R²
    abs(-0.22501581--0.22506374)×2.19978746714977e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19978746714977e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19978746714977e-05×40589641000000     		ar = 28114.1675399403m²