Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60840 / 40498
↖ ↑ ↗
← N 56.483729°
W 12.897949°		 ← 168.65 m → N 56.483729°
W 12.895202°		 →
↑
168.64 m
↓
↑
168.64 m
↓
N 56.482212°
W 12.897949°		 ← 168.65 m →
28 441 m²		 N 56.482212°
W 12.895202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464176177978516 y=0.308979034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464176177978516 × 217)
    floor (0.464176177978516 × 131072)
    floor (60840.5)     		tx = 60840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308979034423828 × 217)
    floor (0.308979034423828 × 131072)
    floor (40498.5)     		ty = 40498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60840 / 40498 ti = "17/60840/40498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60840/40498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60840 ÷ 217
    60840 ÷ 131072     		x = 0.46417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40498 ÷ 217
    40498 ÷ 131072     		y = 0.308975219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.0716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22511168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308975219726562 × 2 - 1) × π
    0.382049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20024409268697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22511168} λ = -0.22511168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20024409268697))-π/2
    2×atan(3.32092743791365)-π/2
    2×1.27831168313224-π/2
    2.55662336626447-1.57079632675     		φ = 0.98582704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22511168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98582704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.483729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60840 KachelY 40498 -0.22511168 0.98582704 -12.897949 56.483729
    Oben rechts KachelX + 1 60841 KachelY 40498 -0.22506374 0.98582704 -12.895202 56.483729
    Unten links KachelX 60840 KachelY + 1 40499 -0.22511168 0.98580057 -12.897949 56.482212
    Unten rechts KachelX + 1 60841 KachelY + 1 40499 -0.22506374 0.98580057 -12.895202 56.482212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98582704-0.98580057) × R
    2.64700000000007e-05 × 6371000     		dl = 168.640370000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98582704-0.98580057) × R
    2.64700000000007e-05 × 6371000     		dr = 168.640370000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22511168--0.22506374) × cos(0.98582704) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552173776099495 × 6371000     		do = 168.64808417377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22511168--0.22506374) × cos(0.98580057) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552195844713879 × 6371000     		du = 168.654824496649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98582704)-sin(0.98580057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552173776099495-0.552195844713879)×R²
    abs(-0.22506374--0.22511168)×2.20686143834747e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20686143834747e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20686143834747e-05×40589641000000     		ar = 28441.4436618261m²