Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6084 / 10124
↖ ↑ ↗
← S 39.027719°
W 46.318360°		 ← 1 898.04 m → S 39.027719°
W 46.296387°		 →
↑
1 897.79 m
↓
↑
1 897.79 m
↓
S 39.044786°
W 46.318360°		 ← 1 897.58 m →
3 601 653 m²		 S 39.044786°
W 46.296387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371368408203125 y=0.617950439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371368408203125 × 214)
    floor (0.371368408203125 × 16384)
    floor (6084.5)     		tx = 6084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617950439453125 × 214)
    floor (0.617950439453125 × 16384)
    floor (10124.5)     		ty = 10124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6084 / 10124 ti = "14/6084/10124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6084/10124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6084 ÷ 214
    6084 ÷ 16384     		x = 0.371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10124 ÷ 214
    10124 ÷ 16384     		y = 0.617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80840788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.23583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.740912720527588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80840788} λ = -0.80840788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740912720527588))-π/2
    2×atan(0.476678642527856)-π/2
    2×0.444817066753516-π/2
    0.889634133507032-1.57079632675     		φ = -0.68116219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80840788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.318360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68116219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.027719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6084 KachelY 10124 -0.80840788 -0.68116219 -46.318360 -39.027719
    Oben rechts KachelX + 1 6085 KachelY 10124 -0.80802438 -0.68116219 -46.296387 -39.027719
    Unten links KachelX 6084 KachelY + 1 10125 -0.80840788 -0.68146007 -46.318360 -39.044786
    Unten rechts KachelX + 1 6085 KachelY + 1 10125 -0.80802438 -0.68146007 -46.296387 -39.044786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68116219--0.68146007) × R
    0.000297879999999973 × 6371000     		dl = 1897.79347999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68116219--0.68146007) × R
    0.000297879999999973 × 6371000     		dr = 1897.79347999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80840788--0.80802438) × cos(-0.68116219) × R
    0.000383499999999981 × 0.776841416822776 × 6371000     		do = 1898.03993163253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80840788--0.80802438) × cos(-0.68146007) × R
    0.000383499999999981 × 0.776653808430218 × 6371000     		du = 1897.58155208058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68116219)-sin(-0.68146007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776841416822776-0.776653808430218)×R²
    abs(-0.80802438--0.80840788)×0.000187608392557603×R²
    0.000383499999999981×0.000187608392557603×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187608392557603×40589641000000     		ar = 3601652.8788005m²