Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60838 / 40987
↖ ↑ ↗
← N 55.734843°
W 12.903442°		 ← 171.93 m → N 55.734843°
W 12.900696°		 →
↑
172.02 m
↓
↑
172.02 m
↓
N 55.733296°
W 12.903442°		 ← 171.93 m →
29 575 m²		 N 55.733296°
W 12.900696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464160919189453 y=0.312709808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464160919189453 × 217)
    floor (0.464160919189453 × 131072)
    floor (60838.5)     		tx = 60838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312709808349609 × 217)
    floor (0.312709808349609 × 131072)
    floor (40987.5)     		ty = 40987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60838 / 40987 ti = "17/60838/40987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60838/40987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60838 ÷ 217
    60838 ÷ 131072     		x = 0.464157104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40987 ÷ 217
    40987 ÷ 131072     		y = 0.312705993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464157104492188 × 2 - 1) × π
    -0.071685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22520755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312705993652344 × 2 - 1) × π
    0.374588012695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.17680294877276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22520755} λ = -0.22520755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17680294877276))-π/2
    2×atan(3.243986415842)-π/2
    2×1.27177642088539-π/2
    2.54355284177078-1.57079632675     		φ = 0.97275652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22520755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.903442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97275652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.734843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60838 KachelY 40987 -0.22520755 0.97275652 -12.903442 55.734843
    Oben rechts KachelX + 1 60839 KachelY 40987 -0.22515962 0.97275652 -12.900696 55.734843
    Unten links KachelX 60838 KachelY + 1 40988 -0.22520755 0.97272952 -12.903442 55.733296
    Unten rechts KachelX + 1 60839 KachelY + 1 40988 -0.22515962 0.97272952 -12.900696 55.733296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97275652-0.97272952) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dl = 172.016999999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97275652-0.97272952) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dr = 172.016999999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22520755--0.22515962) × cos(0.97275652) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563023572388052 × 6371000     		do = 171.926021002273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22520755--0.22515962) × cos(0.97272952) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.563045886085424 × 6371000     		du = 171.9328347582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97275652)-sin(0.97272952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563023572388052-0.563045886085424)×R²
    abs(-0.22515962--0.22520755)×2.2313697372156e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2313697372156e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2313697372156e-05×40589641000000     		ar = 29574.7843975084m²