Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60838 / 40374
↖ ↑ ↗
← N 56.671320°
W 12.903442°		 ← 167.78 m → N 56.671320°
W 12.900696°		 →
↑
167.81 m
↓
↑
167.81 m
↓
N 56.669811°
W 12.903442°		 ← 167.79 m →
28 156 m²		 N 56.669811°
W 12.900696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464160919189453 y=0.308032989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464160919189453 × 217)
    floor (0.464160919189453 × 131072)
    floor (60838.5)     		tx = 60838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308032989501953 × 217)
    floor (0.308032989501953 × 131072)
    floor (40374.5)     		ty = 40374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60838 / 40374 ti = "17/60838/40374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60838/40374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60838 ÷ 217
    60838 ÷ 131072     		x = 0.464157104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40374 ÷ 217
    40374 ÷ 131072     		y = 0.308029174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464157104492188 × 2 - 1) × π
    -0.071685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22520755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308029174804688 × 2 - 1) × π
    0.383941650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20618826823985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22520755} λ = -0.22520755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20618826823985))-π/2
    2×atan(3.34072639955817)-π/2
    2×1.27994872931501-π/2
    2.55989745863002-1.57079632675     		φ = 0.98910113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22520755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.903442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98910113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.671320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60838 KachelY 40374 -0.22520755 0.98910113 -12.903442 56.671320
    Oben rechts KachelX + 1 60839 KachelY 40374 -0.22515962 0.98910113 -12.900696 56.671320
    Unten links KachelX 60838 KachelY + 1 40375 -0.22520755 0.98907479 -12.903442 56.669811
    Unten rechts KachelX + 1 60839 KachelY + 1 40375 -0.22515962 0.98907479 -12.900696 56.669811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98910113-0.98907479) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dl = 167.812140000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98910113-0.98907479) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dr = 167.812140000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22520755--0.22515962) × cos(0.98910113) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549441117490066 × 6371000     		do = 167.778455002241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22520755--0.22515962) × cos(0.98907479) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549463125223935 × 6371000     		du = 167.78517532853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98910113)-sin(0.98907479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549441117490066-0.549463125223935)×R²
    abs(-0.22515962--0.22520755)×2.20077338690672e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20077338690672e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20077338690672e-05×40589641000000     		ar = 28155.825457718m²