Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60838 / 32553
↖ ↑ ↗
← N 66.747493°
W 12.903442°		 ← 120.55 m → N 66.747493°
W 12.900696°		 →
↑
120.54 m
↓
↑
120.54 m
↓
N 66.746409°
W 12.903442°		 ← 120.56 m →
14 532 m²		 N 66.746409°
W 12.900696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464160919189453 y=0.248363494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464160919189453 × 217)
    floor (0.464160919189453 × 131072)
    floor (60838.5)     		tx = 60838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248363494873047 × 217)
    floor (0.248363494873047 × 131072)
    floor (32553.5)     		ty = 32553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60838 / 32553 ti = "17/60838/32553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60838/32553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60838 ÷ 217
    60838 ÷ 131072     		x = 0.464157104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32553 ÷ 217
    32553 ÷ 131072     		y = 0.248359680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464157104492188 × 2 - 1) × π
    -0.071685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22520755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248359680175781 × 2 - 1) × π
    0.503280639648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.58110276016831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22520755} λ = -0.22520755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58110276016831))-π/2
    2×atan(4.8603126162177)-π/2
    2×1.36787992366267-π/2
    2.73575984732534-1.57079632675     		φ = 1.16496352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22520755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.903442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16496352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.747493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60838 KachelY 32553 -0.22520755 1.16496352 -12.903442 66.747493
    Oben rechts KachelX + 1 60839 KachelY 32553 -0.22515962 1.16496352 -12.900696 66.747493
    Unten links KachelX 60838 KachelY + 1 32554 -0.22520755 1.16494460 -12.903442 66.746409
    Unten rechts KachelX + 1 60839 KachelY + 1 32554 -0.22515962 1.16494460 -12.900696 66.746409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16496352-1.16494460) × R
    1.89199999998113e-05 × 6371000     		dl = 120.539319998798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16496352-1.16494460) × R
    1.89199999998113e-05 × 6371000     		dr = 120.539319998798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22520755--0.22515962) × cos(1.16496352) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.394784058364638 × 6371000     		do = 120.552061473868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22520755--0.22515962) × cos(1.16494460) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.394801441496865 × 6371000     		du = 120.557369622413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16496352)-sin(1.16494460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394784058364638-0.394801441496865)×R²
    abs(-0.22515962--0.22520755)×1.73831322266005e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.73831322266005e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.73831322266005e-05×40589641000000     		ar = 14531.5834351653m²