Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60836 / 40986
↖ ↑ ↗
← N 55.736389°
W 12.908936°		 ← 171.96 m → N 55.736389°
W 12.906189°		 →
↑
171.89 m
↓
↑
171.89 m
↓
N 55.734843°
W 12.908936°		 ← 171.96 m →
29 558 m²		 N 55.734843°
W 12.906189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464145660400391 y=0.312702178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464145660400391 × 217)
    floor (0.464145660400391 × 131072)
    floor (60836.5)     		tx = 60836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312702178955078 × 217)
    floor (0.312702178955078 × 131072)
    floor (40986.5)     		ty = 40986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60836 / 40986 ti = "17/60836/40986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60836/40986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60836 ÷ 217
    60836 ÷ 131072     		x = 0.464141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40986 ÷ 217
    40986 ÷ 131072     		y = 0.312698364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.07171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22530343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312698364257812 × 2 - 1) × π
    0.374603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17685088567238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22530343} λ = -0.22530343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17685088567238))-π/2
    2×atan(3.2441419262205)-π/2
    2×1.27178991542041-π/2
    2.54357983084083-1.57079632675     		φ = 0.97278350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22530343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.908936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97278350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.736389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60836 KachelY 40986 -0.22530343 0.97278350 -12.908936 55.736389
    Oben rechts KachelX + 1 60837 KachelY 40986 -0.22525549 0.97278350 -12.906189 55.736389
    Unten links KachelX 60836 KachelY + 1 40987 -0.22530343 0.97275652 -12.908936 55.734843
    Unten rechts KachelX + 1 60837 KachelY + 1 40987 -0.22525549 0.97275652 -12.906189 55.734843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97278350-0.97275652) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dl = 171.889580000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97278350-0.97275652) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dr = 171.889580000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22530343--0.22525549) × cos(0.97278350) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563001274809356 × 6371000     		do = 171.955080979578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22530343--0.22525549) × cos(0.97275652) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563023572388052 × 6371000     		du = 171.961891234051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97278350)-sin(0.97275652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563001274809356-0.563023572388052)×R²
    abs(-0.22525549--0.22530343)×2.22975786956514e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22975786956514e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22975786956514e-05×40589641000000     		ar = 29557.8719560524m²