Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60836 / 32548
↖ ↑ ↗
← N 66.752914°
W 12.908936°		 ← 120.55 m → N 66.752914°
W 12.906189°		 →
↑
120.54 m
↓
↑
120.54 m
↓
N 66.751830°
W 12.908936°		 ← 120.56 m →
14 531 m²		 N 66.751830°
W 12.906189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464145660400391 y=0.248325347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464145660400391 × 217)
    floor (0.464145660400391 × 131072)
    floor (60836.5)     		tx = 60836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248325347900391 × 217)
    floor (0.248325347900391 × 131072)
    floor (32548.5)     		ty = 32548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60836 / 32548 ti = "17/60836/32548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60836/32548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60836 ÷ 217
    60836 ÷ 131072     		x = 0.464141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32548 ÷ 217
    32548 ÷ 131072     		y = 0.248321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.07171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22530343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248321533203125 × 2 - 1) × π
    0.50335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58134244466641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22530343} λ = -0.22530343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58134244466641))-π/2
    2×atan(4.86147769742811)-π/2
    2×1.36792723026296-π/2
    2.73585446052592-1.57079632675     		φ = 1.16505813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22530343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.908936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16505813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.752914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60836 KachelY 32548 -0.22530343 1.16505813 -12.908936 66.752914
    Oben rechts KachelX + 1 60837 KachelY 32548 -0.22525549 1.16505813 -12.906189 66.752914
    Unten links KachelX 60836 KachelY + 1 32549 -0.22530343 1.16503921 -12.908936 66.751830
    Unten rechts KachelX + 1 60837 KachelY + 1 32549 -0.22525549 1.16503921 -12.906189 66.751830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16505813-1.16503921) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dl = 120.539320000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16505813-1.16503921) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dr = 120.539320000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22530343--0.22525549) × cos(1.16505813) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394697131395724 × 6371000     		do = 120.550663432407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22530343--0.22525549) × cos(1.16503921) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394714515234561 × 6371000     		du = 120.555972904248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16505813)-sin(1.16503921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394697131395724-0.394714515234561)×R²
    abs(-0.22525549--0.22530343)×1.73838388363712e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73838388363712e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73838388363712e-05×40589641000000     		ar = 14531.4149962492m²