Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60834 / 40383
↖ ↑ ↗
← N 56.657736°
W 12.914429°		 ← 167.84 m → N 56.657736°
W 12.911682°		 →
↑
167.88 m
↓
↑
167.88 m
↓
N 56.656226°
W 12.914429°		 ← 167.85 m →
28 177 m²		 N 56.656226°
W 12.911682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464130401611328 y=0.308101654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464130401611328 × 217)
    floor (0.464130401611328 × 131072)
    floor (60834.5)     		tx = 60834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308101654052734 × 217)
    floor (0.308101654052734 × 131072)
    floor (40383.5)     		ty = 40383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60834 / 40383 ti = "17/60834/40383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60834/40383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60834 ÷ 217
    60834 ÷ 131072     		x = 0.464126586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40383 ÷ 217
    40383 ÷ 131072     		y = 0.308097839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464126586914062 × 2 - 1) × π
    -0.071746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22539930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308097839355469 × 2 - 1) × π
    0.383804321289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.20575683614327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22539930} λ = -0.22539930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20575683614327))-π/2
    2×atan(3.33928541382961)-π/2
    2×1.27983018468488-π/2
    2.55966036936977-1.57079632675     		φ = 0.98886404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22539930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.914429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98886404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.657736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60834 KachelY 40383 -0.22539930 0.98886404 -12.914429 56.657736
    Oben rechts KachelX + 1 60835 KachelY 40383 -0.22535137 0.98886404 -12.911682 56.657736
    Unten links KachelX 60834 KachelY + 1 40384 -0.22539930 0.98883769 -12.914429 56.656226
    Unten rechts KachelX + 1 60835 KachelY + 1 40384 -0.22535137 0.98883769 -12.911682 56.656226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98886404-0.98883769) × R
    2.63500000000638e-05 × 6371000     		dl = 167.875850000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98886404-0.98883769) × R
    2.63500000000638e-05 × 6371000     		dr = 167.875850000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22539930--0.22535137) × cos(0.98886404) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549639198431926 × 6371000     		do = 167.838941400751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22539930--0.22535137) × cos(0.98883769) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549661211087751 × 6371000     		du = 167.84566323002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98886404)-sin(0.98883769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549639198431926-0.549661211087751)×R²
    abs(-0.22535137--0.22539930)×2.20126558257983e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20126558257983e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20126558257983e-05×40589641000000     		ar = 28176.6691686976m²