Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60834 / 33350
↖ ↑ ↗
← N 65.867988°
W 12.914429°		 ← 124.84 m → N 65.867988°
W 12.911682°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
N 65.866865°
W 12.914429°		 ← 124.85 m →
15 590 m²		 N 65.866865°
W 12.911682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464130401611328 y=0.254444122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464130401611328 × 217)
    floor (0.464130401611328 × 131072)
    floor (60834.5)     		tx = 60834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254444122314453 × 217)
    floor (0.254444122314453 × 131072)
    floor (33350.5)     		ty = 33350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60834 / 33350 ti = "17/60834/33350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60834/33350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60834 ÷ 217
    60834 ÷ 131072     		x = 0.464126586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33350 ÷ 217
    33350 ÷ 131072     		y = 0.254440307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464126586914062 × 2 - 1) × π
    -0.071746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22539930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254440307617188 × 2 - 1) × π
    0.491119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54289705117113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22539930} λ = -0.22539930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54289705117113))-π/2
    2×atan(4.67812342134486)-π/2
    2×1.36020479515609-π/2
    2.72040959031218-1.57079632675     		φ = 1.14961326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22539930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.914429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14961326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.867988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60834 KachelY 33350 -0.22539930 1.14961326 -12.914429 65.867988
    Oben rechts KachelX + 1 60835 KachelY 33350 -0.22535137 1.14961326 -12.911682 65.867988
    Unten links KachelX 60834 KachelY + 1 33351 -0.22539930 1.14959366 -12.914429 65.866865
    Unten rechts KachelX + 1 60835 KachelY + 1 33351 -0.22535137 1.14959366 -12.911682 65.866865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14961326-1.14959366) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dl = 124.871599999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14961326-1.14959366) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dr = 124.871599999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22539930--0.22535137) × cos(1.14961326) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.408840412653325 × 6371000     		do = 124.844338353861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22539930--0.22535137) × cos(1.14959366) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.408858299650308 × 6371000     		du = 124.84980036357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14961326)-sin(1.14959366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408840412653325-0.408858299650308)×R²
    abs(-0.22535137--0.22539930)×1.78869969826856e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.78869969826856e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.78869969826856e-05×40589641000000     		ar = 15589.8533065168m²