Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60833 / 33351
↖ ↑ ↗
← N 65.866865°
W 12.917175°		 ← 124.88 m → N 65.866865°
W 12.914429°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
N 65.865742°
W 12.917175°		 ← 124.88 m →
15 594 m²		 N 65.865742°
W 12.914429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464122772216797 y=0.254451751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464122772216797 × 217)
    floor (0.464122772216797 × 131072)
    floor (60833.5)     		tx = 60833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254451751708984 × 217)
    floor (0.254451751708984 × 131072)
    floor (33351.5)     		ty = 33351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60833 / 33351 ti = "17/60833/33351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60833/33351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60833 ÷ 217
    60833 ÷ 131072     		x = 0.464118957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33351 ÷ 217
    33351 ÷ 131072     		y = 0.254447937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464118957519531 × 2 - 1) × π
    -0.0717620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22544724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254447937011719 × 2 - 1) × π
    0.491104125976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.54284911427151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22544724} λ = -0.22544724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54284911427151))-π/2
    2×atan(4.67789917198696)-π/2
    2×1.36019499567091-π/2
    2.72038999134182-1.57079632675     		φ = 1.14959366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22544724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.917175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14959366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.866865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60833 KachelY 33351 -0.22544724 1.14959366 -12.917175 65.866865
    Oben rechts KachelX + 1 60834 KachelY 33351 -0.22539930 1.14959366 -12.914429 65.866865
    Unten links KachelX 60833 KachelY + 1 33352 -0.22544724 1.14957406 -12.917175 65.865742
    Unten rechts KachelX + 1 60834 KachelY + 1 33352 -0.22539930 1.14957406 -12.914429 65.865742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14959366-1.14957406) × R
    1.96000000001195e-05 × 6371000     		dl = 124.871600000761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14959366-1.14957406) × R
    1.96000000001195e-05 × 6371000     		dr = 124.871600000761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22544724--0.22539930) × cos(1.14959366) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408858299650308 × 6371000     		do = 124.875848725827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22544724--0.22539930) × cos(1.14957406) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408876186490223 × 6371000     		du = 124.881311827145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14959366)-sin(1.14957406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408858299650308-0.408876186490223)×R²
    abs(-0.22539930--0.22544724)×1.78868399158816e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78868399158816e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78868399158816e-05×40589641000000     		ar = 15593.7881255917m²