Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60832 / 32671
↖ ↑ ↗
← N 66.619212°
W 12.919922°		 ← 121.21 m → N 66.619212°
W 12.917175°		 →
↑
121.18 m
↓
↑
121.18 m
↓
N 66.618122°
W 12.919922°		 ← 121.21 m →
14 688 m²		 N 66.618122°
W 12.917175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464115142822266 y=0.249263763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464115142822266 × 217)
    floor (0.464115142822266 × 131072)
    floor (60832.5)     		tx = 60832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249263763427734 × 217)
    floor (0.249263763427734 × 131072)
    floor (32671.5)     		ty = 32671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60832 / 32671 ti = "17/60832/32671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60832/32671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60832 ÷ 217
    60832 ÷ 131072     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32671 ÷ 217
    32671 ÷ 131072     		y = 0.249259948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249259948730469 × 2 - 1) × π
    0.501480102539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.57544620601315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57544620601315))-π/2
    2×atan(4.83289760503963)-π/2
    2×1.36676045943181-π/2
    2.73352091886362-1.57079632675     		φ = 1.16272459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16272459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.619212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60832 KachelY 32671 -0.22549518 1.16272459 -12.919922 66.619212
    Oben rechts KachelX + 1 60833 KachelY 32671 -0.22544724 1.16272459 -12.917175 66.619212
    Unten links KachelX 60832 KachelY + 1 32672 -0.22549518 1.16270557 -12.919922 66.618122
    Unten rechts KachelX + 1 60833 KachelY + 1 32672 -0.22544724 1.16270557 -12.917175 66.618122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16272459-1.16270557) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dl = 121.176420000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16272459-1.16270557) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dr = 121.176420000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22544724) × cos(1.16272459) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.396840137688889 × 6371000     		do = 121.205192715322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22544724) × cos(1.16270557) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.396857595841942 × 6371000     		du = 121.210524884637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16272459)-sin(1.16270557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396840137688889-0.396857595841942)×R²
    abs(-0.22544724--0.22549518)×1.74581530527074e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.74581530527074e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.74581530527074e-05×40589641000000     		ar = 14687.5344057114m²