Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60832 / 32545
↖ ↑ ↗
← N 66.756166°
W 12.919922°		 ← 120.53 m → N 66.756166°
W 12.917175°		 →
↑
120.54 m
↓
↑
120.54 m
↓
N 66.755082°
W 12.919922°		 ← 120.54 m →
14 529 m²		 N 66.755082°
W 12.917175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464115142822266 y=0.248302459716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464115142822266 × 217)
    floor (0.464115142822266 × 131072)
    floor (60832.5)     		tx = 60832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248302459716797 × 217)
    floor (0.248302459716797 × 131072)
    floor (32545.5)     		ty = 32545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60832 / 32545 ti = "17/60832/32545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60832/32545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60832 ÷ 217
    60832 ÷ 131072     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32545 ÷ 217
    32545 ÷ 131072     		y = 0.248298645019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248298645019531 × 2 - 1) × π
    0.503402709960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.58148625536527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58148625536527))-π/2
    2×atan(4.86217688020704)-π/2
    2×1.36795560922289-π/2
    2.73591121844577-1.57079632675     		φ = 1.16511489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16511489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.756166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60832 KachelY 32545 -0.22549518 1.16511489 -12.919922 66.756166
    Oben rechts KachelX + 1 60833 KachelY 32545 -0.22544724 1.16511489 -12.917175 66.756166
    Unten links KachelX 60832 KachelY + 1 32546 -0.22549518 1.16509597 -12.919922 66.755082
    Unten rechts KachelX + 1 60833 KachelY + 1 32546 -0.22544724 1.16509597 -12.917175 66.755082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16511489-1.16509597) × R
    1.89199999998113e-05 × 6371000     		dl = 120.539319998798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16511489-1.16509597) × R
    1.89199999998113e-05 × 6371000     		dr = 120.539319998798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22544724) × cos(1.16511489) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.39464497903151 × 6371000     		do = 120.534734757974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22544724) × cos(1.16509597) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394662363294193 × 6371000     		du = 120.540044359268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16511489)-sin(1.16509597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39464497903151-0.394662363294193)×R²
    abs(-0.22544724--0.22549518)×1.7384262682496e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7384262682496e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7384262682496e-05×40589641000000     		ar = 14529.4949722791m²