Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60831 / 32923
↖ ↑ ↗
← N 66.343016°
W 12.922668°		 ← 122.53 m → N 66.343016°
W 12.919922°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
N 66.341914°
W 12.922668°		 ← 122.54 m →
15 020 m²		 N 66.341914°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464107513427734 y=0.251186370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464107513427734 × 217)
    floor (0.464107513427734 × 131072)
    floor (60831.5)     		tx = 60831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251186370849609 × 217)
    floor (0.251186370849609 × 131072)
    floor (32923.5)     		ty = 32923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60831 / 32923 ti = "17/60831/32923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60831/32923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60831 ÷ 217
    60831 ÷ 131072     		x = 0.464103698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32923 ÷ 217
    32923 ÷ 131072     		y = 0.251182556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464103698730469 × 2 - 1) × π
    -0.0717926025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22554311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251182556152344 × 2 - 1) × π
    0.497634887695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.56336610730889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22554311} λ = -0.22554311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56336610730889))-π/2
    2×atan(4.77486693872534)-π/2
    2×1.36435019667171-π/2
    2.72870039334343-1.57079632675     		φ = 1.15790407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22554311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.922668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15790407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.343016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60831 KachelY 32923 -0.22554311 1.15790407 -12.922668 66.343016
    Oben rechts KachelX + 1 60832 KachelY 32923 -0.22549518 1.15790407 -12.919922 66.343016
    Unten links KachelX 60831 KachelY + 1 32924 -0.22554311 1.15788483 -12.922668 66.341914
    Unten rechts KachelX + 1 60832 KachelY + 1 32924 -0.22549518 1.15788483 -12.919922 66.341914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15790407-1.15788483) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15790407-1.15788483) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22554311--0.22549518) × cos(1.15790407) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401260206005674 × 6371000     		do = 122.529631064115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22554311--0.22549518) × cos(1.15788483) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401277829080841 × 6371000     		du = 122.535012482123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15790407)-sin(1.15788483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401260206005674-0.401277829080841)×R²
    abs(-0.22549518--0.22554311)×1.762307516745e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.762307516745e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.762307516745e-05×40589641000000     		ar = 15019.7718401289m²