Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60831 / 32864
↖ ↑ ↗
← N 66.407955°
W 12.922668°		 ← 122.21 m → N 66.407955°
W 12.919922°		 →
↑
122.20 m
↓
↑
122.20 m
↓
N 66.406856°
W 12.922668°		 ← 122.22 m →
14 934 m²		 N 66.406856°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464107513427734 y=0.250736236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464107513427734 × 217)
    floor (0.464107513427734 × 131072)
    floor (60831.5)     		tx = 60831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250736236572266 × 217)
    floor (0.250736236572266 × 131072)
    floor (32864.5)     		ty = 32864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60831 / 32864 ti = "17/60831/32864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60831/32864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60831 ÷ 217
    60831 ÷ 131072     		x = 0.464103698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32864 ÷ 217
    32864 ÷ 131072     		y = 0.250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464103698730469 × 2 - 1) × π
    -0.0717926025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22554311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250732421875 × 2 - 1) × π
    0.49853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.56619438438647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22554311} λ = -0.22554311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56619438438647))-π/2
    2×atan(4.78839070089504)-π/2
    2×1.36491689970855-π/2
    2.7298337994171-1.57079632675     		φ = 1.15903747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22554311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.922668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15903747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.407955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60831 KachelY 32864 -0.22554311 1.15903747 -12.922668 66.407955
    Oben rechts KachelX + 1 60832 KachelY 32864 -0.22549518 1.15903747 -12.919922 66.407955
    Unten links KachelX 60831 KachelY + 1 32865 -0.22554311 1.15901829 -12.922668 66.406856
    Unten rechts KachelX + 1 60832 KachelY + 1 32865 -0.22549518 1.15901829 -12.919922 66.406856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15903747-1.15901829) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dl = 122.195780000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15903747-1.15901829) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dr = 122.195780000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22554311--0.22549518) × cos(1.15903747) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.400221794779465 × 6371000     		do = 122.212539704105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22554311--0.22549518) × cos(1.15901829) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.400239371608993 × 6371000     		du = 122.217907000451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15903747)-sin(1.15901829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400221794779465-0.400239371608993)×R²
    abs(-0.22549518--0.22554311)×1.75768295284096e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.75768295284096e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.75768295284096e-05×40589641000000     		ar = 14934.1845456906m²