Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60830 / 40992
↖ ↑ ↗
← N 55.727110°
W 12.925415°		 ← 172 m → N 55.727110°
W 12.922668°		 →
↑
171.95 m
↓
↑
171.95 m
↓
N 55.725563°
W 12.925415°		 ← 172 m →
29 576 m²		 N 55.725563°
W 12.922668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464099884033203 y=0.312747955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464099884033203 × 217)
    floor (0.464099884033203 × 131072)
    floor (60830.5)     		tx = 60830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312747955322266 × 217)
    floor (0.312747955322266 × 131072)
    floor (40992.5)     		ty = 40992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60830 / 40992 ti = "17/60830/40992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60830/40992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60830 ÷ 217
    60830 ÷ 131072     		x = 0.464096069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40992 ÷ 217
    40992 ÷ 131072     		y = 0.312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464096069335938 × 2 - 1) × π
    -0.071807861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22559105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312744140625 × 2 - 1) × π
    0.37451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17656326427466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22559105} λ = -0.22559105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17656326427466))-π/2
    2×atan(3.24320897575996)-π/2
    2×1.27170894019067-π/2
    2.54341788038135-1.57079632675     		φ = 0.97262155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22559105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.925415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97262155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.727110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60830 KachelY 40992 -0.22559105 0.97262155 -12.925415 55.727110
    Oben rechts KachelX + 1 60831 KachelY 40992 -0.22554311 0.97262155 -12.922668 55.727110
    Unten links KachelX 60830 KachelY + 1 40993 -0.22559105 0.97259456 -12.925415 55.725563
    Unten rechts KachelX + 1 60831 KachelY + 1 40993 -0.22554311 0.97259456 -12.922668 55.725563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97262155-0.97259456) × R
    2.6989999999949e-05 × 6371000     		dl = 171.953289999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97262155-0.97259456) × R
    2.6989999999949e-05 × 6371000     		dr = 171.953289999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22559105--0.22554311) × cos(0.97262155) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563135111979201 × 6371000     		do = 171.995958296217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22559105--0.22554311) × cos(0.97259456) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563157415361068 × 6371000     		du = 172.002770323128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97262155)-sin(0.97259456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563135111979201-0.563157415361068)×R²
    abs(-0.22554311--0.22559105)×2.23033818669283e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23033818669283e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23033818669283e-05×40589641000000     		ar = 29575.856572726m²