Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60830 / 32542
↖ ↑ ↗
← N 66.759417°
W 12.925415°		 ← 120.52 m → N 66.759417°
W 12.922668°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 66.758334°
W 12.925415°		 ← 120.52 m →
14 520 m²		 N 66.758334°
W 12.922668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464099884033203 y=0.248279571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464099884033203 × 217)
    floor (0.464099884033203 × 131072)
    floor (60830.5)     		tx = 60830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248279571533203 × 217)
    floor (0.248279571533203 × 131072)
    floor (32542.5)     		ty = 32542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60830 / 32542 ti = "17/60830/32542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60830/32542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60830 ÷ 217
    60830 ÷ 131072     		x = 0.464096069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32542 ÷ 217
    32542 ÷ 131072     		y = 0.248275756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464096069335938 × 2 - 1) × π
    -0.071807861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22559105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248275756835938 × 2 - 1) × π
    0.503448486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58163006606413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22559105} λ = -0.22559105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58163006606413))-π/2
    2×atan(4.86287616354318)-π/2
    2×1.36798398443311-π/2
    2.73596796886623-1.57079632675     		φ = 1.16517164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22559105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.925415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16517164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.759417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60830 KachelY 32542 -0.22559105 1.16517164 -12.925415 66.759417
    Oben rechts KachelX + 1 60831 KachelY 32542 -0.22554311 1.16517164 -12.922668 66.759417
    Unten links KachelX 60830 KachelY + 1 32543 -0.22559105 1.16515273 -12.925415 66.758334
    Unten rechts KachelX + 1 60831 KachelY + 1 32543 -0.22554311 1.16515273 -12.922668 66.758334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16517164-1.16515273) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16517164-1.16515273) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22559105--0.22554311) × cos(1.16517164) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.39459283458443 × 6371000     		do = 120.518808501638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22559105--0.22554311) × cos(1.16515273) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394610210082342 × 6371000     		du = 120.524115425946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16517164)-sin(1.16515273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39459283458443-0.394610210082342)×R²
    abs(-0.22554311--0.22559105)×1.73754979121421e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73754979121421e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73754979121421e-05×40589641000000     		ar = 14519.8966487567m²