Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60829 / 40335
↖ ↑ ↗
← N 56.730129°
W 12.928162°		 ← 167.55 m → N 56.730129°
W 12.925415°		 →
↑
167.56 m
↓
↑
167.56 m
↓
N 56.728622°
W 12.928162°		 ← 167.56 m →
28 075 m²		 N 56.728622°
W 12.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464092254638672 y=0.307735443115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464092254638672 × 217)
    floor (0.464092254638672 × 131072)
    floor (60829.5)     		tx = 60829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307735443115234 × 217)
    floor (0.307735443115234 × 131072)
    floor (40335.5)     		ty = 40335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60829 / 40335 ti = "17/60829/40335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60829/40335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60829 ÷ 217
    60829 ÷ 131072     		x = 0.464088439941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40335 ÷ 217
    40335 ÷ 131072     		y = 0.307731628417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464088439941406 × 2 - 1) × π
    -0.0718231201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22563899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307731628417969 × 2 - 1) × π
    0.384536743164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.20805780732504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22563899} λ = -0.22563899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20805780732504))-π/2
    2×atan(3.34697785998902)-π/2
    2×1.2804619291165-π/2
    2.56092385823301-1.57079632675     		φ = 0.99012753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22563899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.928162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99012753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.730129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60829 KachelY 40335 -0.22563899 0.99012753 -12.928162 56.730129
    Oben rechts KachelX + 1 60830 KachelY 40335 -0.22559105 0.99012753 -12.925415 56.730129
    Unten links KachelX 60829 KachelY + 1 40336 -0.22563899 0.99010123 -12.928162 56.728622
    Unten rechts KachelX + 1 60830 KachelY + 1 40336 -0.22559105 0.99010123 -12.925415 56.728622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99012753-0.99010123) × R
    2.62999999999236e-05 × 6371000     		dl = 167.557299999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99012753-0.99010123) × R
    2.62999999999236e-05 × 6371000     		dr = 167.557299999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22563899--0.22559105) × cos(0.99012753) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548583237726907 × 6371000     		do = 167.551441334421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22563899--0.22559105) × cos(0.99010123) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.548605226860565 × 6371000     		du = 167.55815738184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99012753)-sin(0.99010123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548583237726907-0.548605226860565)×R²
    abs(-0.22559105--0.22563899)×2.19891336582512e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19891336582512e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19891336582512e-05×40589641000000     		ar = 28075.0297839728m²