Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60829 / 34069
↖ ↑ ↗
← N 65.047809°
W 12.928162°		 ← 128.85 m → N 65.047809°
W 12.925415°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 65.046650°
W 12.928162°		 ← 128.85 m →
16 607 m²		 N 65.046650°
W 12.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464092254638672 y=0.259929656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464092254638672 × 217)
    floor (0.464092254638672 × 131072)
    floor (60829.5)     		tx = 60829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259929656982422 × 217)
    floor (0.259929656982422 × 131072)
    floor (34069.5)     		ty = 34069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60829 / 34069 ti = "17/60829/34069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60829/34069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60829 ÷ 217
    60829 ÷ 131072     		x = 0.464088439941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34069 ÷ 217
    34069 ÷ 131072     		y = 0.259925842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464088439941406 × 2 - 1) × π
    -0.0718231201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22563899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259925842285156 × 2 - 1) × π
    0.480148315429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.50843042034431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22563899} λ = -0.22563899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50843042034431))-π/2
    2×atan(4.51963130281892)-π/2
    2×1.353047382031-π/2
    2.70609476406201-1.57079632675     		φ = 1.13529844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22563899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.928162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13529844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.047809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60829 KachelY 34069 -0.22563899 1.13529844 -12.928162 65.047809
    Oben rechts KachelX + 1 60830 KachelY 34069 -0.22559105 1.13529844 -12.925415 65.047809
    Unten links KachelX 60829 KachelY + 1 34070 -0.22563899 1.13527821 -12.928162 65.046650
    Unten rechts KachelX + 1 60830 KachelY + 1 34070 -0.22559105 1.13527821 -12.925415 65.046650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13529844-1.13527821) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dl = 128.885329999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13529844-1.13527821) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dr = 128.885329999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22563899--0.22559105) × cos(1.13529844) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.421861867734765 × 6371000     		do = 128.847473130737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22563899--0.22559105) × cos(1.13527821) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.421880209382571 × 6371000     		du = 128.853075142091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13529844)-sin(1.13527821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421861867734765-0.421880209382571)×R²
    abs(-0.22559105--0.22563899)×1.83416478056198e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83416478056198e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83416478056198e-05×40589641000000     		ar = 16606.9101030959m²