Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60829 / 32926
↖ ↑ ↗
← N 66.339710°
W 12.928162°		 ← 122.57 m → N 66.339710°
W 12.925415°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
N 66.338607°
W 12.928162°		 ← 122.58 m →
15 025 m²		 N 66.338607°
W 12.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464092254638672 y=0.251209259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464092254638672 × 217)
    floor (0.464092254638672 × 131072)
    floor (60829.5)     		tx = 60829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251209259033203 × 217)
    floor (0.251209259033203 × 131072)
    floor (32926.5)     		ty = 32926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60829 / 32926 ti = "17/60829/32926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60829/32926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60829 ÷ 217
    60829 ÷ 131072     		x = 0.464088439941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32926 ÷ 217
    32926 ÷ 131072     		y = 0.251205444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464088439941406 × 2 - 1) × π
    -0.0718231201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22563899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251205444335938 × 2 - 1) × π
    0.497589111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56322229661003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22563899} λ = -0.22563899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56322229661003))-π/2
    2×atan(4.77418031114729)-π/2
    2×1.36432134201577-π/2
    2.72864268403155-1.57079632675     		φ = 1.15784636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22563899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.928162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15784636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.339710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60829 KachelY 32926 -0.22563899 1.15784636 -12.928162 66.339710
    Oben rechts KachelX + 1 60830 KachelY 32926 -0.22559105 1.15784636 -12.925415 66.339710
    Unten links KachelX 60829 KachelY + 1 32927 -0.22563899 1.15782712 -12.928162 66.338607
    Unten rechts KachelX + 1 60830 KachelY + 1 32927 -0.22559105 1.15782712 -12.925415 66.338607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15784636-1.15782712) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dl = 122.578039999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15784636-1.15782712) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dr = 122.578039999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22563899--0.22559105) × cos(1.15784636) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.401313065626128 × 6371000     		do = 122.57134004059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22563899--0.22559105) × cos(1.15782712) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.40133068825572 × 6371000     		du = 122.576722445274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15784636)-sin(1.15782712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401313065626128-0.40133068825572)×R²
    abs(-0.22559105--0.22563899)×1.76226295927062e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76226295927062e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76226295927062e-05×40589641000000     		ar = 15024.8845049616m²