Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60828 / 40368
↖ ↑ ↗
← N 56.680374°
W 12.930908°		 ← 167.74 m → N 56.680374°
W 12.928162°		 →
↑
167.75 m
↓
↑
167.75 m
↓
N 56.678865°
W 12.930908°		 ← 167.74 m →
28 138 m²		 N 56.678865°
W 12.928162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464084625244141 y=0.307987213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464084625244141 × 217)
    floor (0.464084625244141 × 131072)
    floor (60828.5)     		tx = 60828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307987213134766 × 217)
    floor (0.307987213134766 × 131072)
    floor (40368.5)     		ty = 40368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60828 / 40368 ti = "17/60828/40368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60828/40368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60828 ÷ 217
    60828 ÷ 131072     		x = 0.464080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40368 ÷ 217
    40368 ÷ 131072     		y = 0.3079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3079833984375 × 2 - 1) × π
    0.384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20647588963757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22568692} λ = -0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20647588963757))-π/2
    2×atan(3.34168740215044)-π/2
    2×1.28002773533192-π/2
    2.56005547066385-1.57079632675     		φ = 0.98925914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98925914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.680374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60828 KachelY 40368 -0.22568692 0.98925914 -12.930908 56.680374
    Oben rechts KachelX + 1 60829 KachelY 40368 -0.22563899 0.98925914 -12.928162 56.680374
    Unten links KachelX 60828 KachelY + 1 40369 -0.22568692 0.98923281 -12.930908 56.678865
    Unten rechts KachelX + 1 60829 KachelY + 1 40369 -0.22563899 0.98923281 -12.928162 56.678865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98925914-0.98923281) × R
    2.63300000000743e-05 × 6371000     		dl = 167.748430000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98925914-0.98923281) × R
    2.63300000000743e-05 × 6371000     		dr = 167.748430000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22568692--0.22563899) × cos(0.98925914) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549309088150767 × 6371000     		do = 167.738138255173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22568692--0.22563899) × cos(0.98923281) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549331089815125 × 6371000     		du = 167.744856728064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98925914)-sin(0.98923281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549309088150767-0.549331089815125)×R²
    abs(-0.22563899--0.22568692)×2.20016643571741e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20016643571741e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20016643571741e-05×40589641000000     		ar = 28138.37285172m²