Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60828 / 33348
↖ ↑ ↗
← N 65.870234°
W 12.930908°		 ← 124.83 m → N 65.870234°
W 12.928162°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
N 65.869111°
W 12.930908°		 ← 124.84 m →
15 588 m²		 N 65.869111°
W 12.928162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464084625244141 y=0.254428863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464084625244141 × 217)
    floor (0.464084625244141 × 131072)
    floor (60828.5)     		tx = 60828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254428863525391 × 217)
    floor (0.254428863525391 × 131072)
    floor (33348.5)     		ty = 33348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60828 / 33348 ti = "17/60828/33348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60828/33348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60828 ÷ 217
    60828 ÷ 131072     		x = 0.464080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33348 ÷ 217
    33348 ÷ 131072     		y = 0.254425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254425048828125 × 2 - 1) × π
    0.49114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54299292497037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22568692} λ = -0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54299292497037))-π/2
    2×atan(4.67857195231142)-π/2
    2×1.36022439284039-π/2
    2.72044878568079-1.57079632675     		φ = 1.14965246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14965246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.870234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60828 KachelY 33348 -0.22568692 1.14965246 -12.930908 65.870234
    Oben rechts KachelX + 1 60829 KachelY 33348 -0.22563899 1.14965246 -12.928162 65.870234
    Unten links KachelX 60828 KachelY + 1 33349 -0.22568692 1.14963286 -12.930908 65.869111
    Unten rechts KachelX + 1 60829 KachelY + 1 33349 -0.22563899 1.14963286 -12.928162 65.869111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14965246-1.14963286) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dl = 124.871599999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14965246-1.14963286) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dr = 124.871599999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22568692--0.22563899) × cos(1.14965246) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.408804638188186 × 6371000     		do = 124.833414190564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22568692--0.22563899) × cos(1.14963286) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.408822525499282 × 6371000     		du = 124.838876296192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14965246)-sin(1.14963286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408804638188186-0.408822525499282)×R²
    abs(-0.22563899--0.22568692)×1.78873110960875e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.78873110960875e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.78873110960875e-05×40589641000000     		ar = 15588.489194733m²