Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60827 / 40367
↖ ↑ ↗
← N 56.681883°
W 12.933655°		 ← 167.77 m → N 56.681883°
W 12.930908°		 →
↑
167.81 m
↓
↑
167.81 m
↓
N 56.680374°
W 12.933655°		 ← 167.77 m →
28 154 m²		 N 56.680374°
W 12.930908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464076995849609 y=0.307979583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464076995849609 × 217)
    floor (0.464076995849609 × 131072)
    floor (60827.5)     		tx = 60827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307979583740234 × 217)
    floor (0.307979583740234 × 131072)
    floor (40367.5)     		ty = 40367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60827 / 40367 ti = "17/60827/40367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60827/40367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60827 ÷ 217
    60827 ÷ 131072     		x = 0.464073181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40367 ÷ 217
    40367 ÷ 131072     		y = 0.307975769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464073181152344 × 2 - 1) × π
    -0.0718536376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22573486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307975769042969 × 2 - 1) × π
    0.384048461914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.20652382653719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22573486} λ = -0.22573486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20652382653719))-π/2
    2×atan(3.34184759612357)-π/2
    2×1.28004090115546-π/2
    2.56008180231092-1.57079632675     		φ = 0.98928548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22573486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.933655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98928548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.681883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60827 KachelY 40367 -0.22573486 0.98928548 -12.933655 56.681883
    Oben rechts KachelX + 1 60828 KachelY 40367 -0.22568692 0.98928548 -12.930908 56.681883
    Unten links KachelX 60827 KachelY + 1 40368 -0.22573486 0.98925914 -12.933655 56.680374
    Unten rechts KachelX + 1 60828 KachelY + 1 40368 -0.22568692 0.98925914 -12.930908 56.680374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98928548-0.98925914) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dl = 167.812140000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98928548-0.98925914) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dr = 167.812140000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22573486--0.22568692) × cos(0.98928548) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549287077749254 × 6371000     		do = 167.766412193991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22573486--0.22568692) × cos(0.98925914) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549309088150767 × 6371000     		du = 167.77313473716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98928548)-sin(0.98925914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549287077749254-0.549309088150767)×R²
    abs(-0.22568692--0.22573486)×2.20104015130618e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20104015130618e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20104015130618e-05×40589641000000     		ar = 28153.8047142636m²