Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60826 / 40331
↖ ↑ ↗
← N 56.736155°
W 12.936402°		 ← 167.52 m → N 56.736155°
W 12.933655°		 →
↑
167.49 m
↓
↑
167.49 m
↓
N 56.734649°
W 12.936402°		 ← 167.53 m →
28 060 m²		 N 56.734649°
W 12.933655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464069366455078 y=0.307704925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464069366455078 × 217)
    floor (0.464069366455078 × 131072)
    floor (60826.5)     		tx = 60826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307704925537109 × 217)
    floor (0.307704925537109 × 131072)
    floor (40331.5)     		ty = 40331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60826 / 40331 ti = "17/60826/40331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60826/40331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60826 ÷ 217
    60826 ÷ 131072     		x = 0.464065551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40331 ÷ 217
    40331 ÷ 131072     		y = 0.307701110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464065551757812 × 2 - 1) × π
    -0.071868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22578280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307701110839844 × 2 - 1) × π
    0.384597778320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.20824955492352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22578280} λ = -0.22578280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20824955492352))-π/2
    2×atan(3.34761969648918)-π/2
    2×1.28051451965974-π/2
    2.56102903931947-1.57079632675     		φ = 0.99023271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22578280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.936402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99023271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.736155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60826 KachelY 40331 -0.22578280 0.99023271 -12.936402 56.736155
    Oben rechts KachelX + 1 60827 KachelY 40331 -0.22573486 0.99023271 -12.933655 56.736155
    Unten links KachelX 60826 KachelY + 1 40332 -0.22578280 0.99020642 -12.936402 56.734649
    Unten rechts KachelX + 1 60827 KachelY + 1 40332 -0.22573486 0.99020642 -12.933655 56.734649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99023271-0.99020642) × R
    2.62899999999844e-05 × 6371000     		dl = 167.493589999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99023271-0.99020642) × R
    2.62899999999844e-05 × 6371000     		dr = 167.493589999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22578280--0.22573486) × cos(0.99023271) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548495294121003 × 6371000     		do = 167.524581093412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22578280--0.22573486) × cos(0.99020642) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548517276410688 × 6371000     		du = 167.531295050506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99023271)-sin(0.99020642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548495294121003-0.548517276410688)×R²
    abs(-0.22573486--0.22578280)×2.19822896845301e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19822896845301e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19822896845301e-05×40589641000000     		ar = 28059.8557747695m²