Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60826 / 32532
↖ ↑ ↗
← N 66.770253°
W 12.936402°		 ← 120.47 m → N 66.770253°
W 12.933655°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 66.769170°
W 12.936402°		 ← 120.47 m →
14 514 m²		 N 66.769170°
W 12.933655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464069366455078 y=0.248203277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464069366455078 × 217)
    floor (0.464069366455078 × 131072)
    floor (60826.5)     		tx = 60826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248203277587891 × 217)
    floor (0.248203277587891 × 131072)
    floor (32532.5)     		ty = 32532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60826 / 32532 ti = "17/60826/32532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60826/32532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60826 ÷ 217
    60826 ÷ 131072     		x = 0.464065551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32532 ÷ 217
    32532 ÷ 131072     		y = 0.248199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464065551757812 × 2 - 1) × π
    -0.071868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22578280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248199462890625 × 2 - 1) × π
    0.50360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58210943506033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22578280} λ = -0.22578280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58210943506033))-π/2
    2×atan(4.86520783442906)-π/2
    2×1.36807854139127-π/2
    2.73615708278254-1.57079632675     		φ = 1.16536076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22578280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.936402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16536076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.770253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60826 KachelY 32532 -0.22578280 1.16536076 -12.936402 66.770253
    Oben rechts KachelX + 1 60827 KachelY 32532 -0.22573486 1.16536076 -12.933655 66.770253
    Unten links KachelX 60826 KachelY + 1 32533 -0.22578280 1.16534185 -12.936402 66.769170
    Unten rechts KachelX + 1 60827 KachelY + 1 32533 -0.22573486 1.16534185 -12.933655 66.769170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16536076-1.16534185) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16536076-1.16534185) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22578280--0.22573486) × cos(1.16536076) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394419053467127 × 6371000     		do = 120.465731275288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22578280--0.22573486) × cos(1.16534185) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394436430375926 × 6371000     		du = 120.471038630516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16536076)-sin(1.16534185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394419053467127-0.394436430375926)×R²
    abs(-0.22573486--0.22578280)×1.73769087987163e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73769087987163e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73769087987163e-05×40589641000000     		ar = 14513.5021633623m²