Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60825 / 32534
↖ ↑ ↗
← N 66.768086°
W 12.939148°		 ← 120.45 m → N 66.768086°
W 12.936402°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 66.767003°
W 12.939148°		 ← 120.46 m →
14 512 m²		 N 66.767003°
W 12.936402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464061737060547 y=0.248218536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464061737060547 × 217)
    floor (0.464061737060547 × 131072)
    floor (60825.5)     		tx = 60825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248218536376953 × 217)
    floor (0.248218536376953 × 131072)
    floor (32534.5)     		ty = 32534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60825 / 32534 ti = "17/60825/32534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60825/32534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60825 ÷ 217
    60825 ÷ 131072     		x = 0.464057922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32534 ÷ 217
    32534 ÷ 131072     		y = 0.248214721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464057922363281 × 2 - 1) × π
    -0.0718841552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22583073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248214721679688 × 2 - 1) × π
    0.503570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58201356126109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22583073} λ = -0.22583073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58201356126109))-π/2
    2×atan(4.86474141082914)-π/2
    2×1.36805963333163-π/2
    2.73611926666325-1.57079632675     		φ = 1.16532294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22583073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.939148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16532294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.768086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60825 KachelY 32534 -0.22583073 1.16532294 -12.939148 66.768086
    Oben rechts KachelX + 1 60826 KachelY 32534 -0.22578280 1.16532294 -12.936402 66.768086
    Unten links KachelX 60825 KachelY + 1 32535 -0.22583073 1.16530403 -12.939148 66.767003
    Unten rechts KachelX + 1 60826 KachelY + 1 32535 -0.22578280 1.16530403 -12.936402 66.767003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16532294-1.16530403) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16532294-1.16530403) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22583073--0.22578280) × cos(1.16532294) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.394453807143679 × 6371000     		do = 120.451215290626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22583073--0.22578280) × cos(1.16530403) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.39447118377038 × 6371000     		du = 120.45652145263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16532294)-sin(1.16530403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394453807143679-0.39447118377038)×R²
    abs(-0.22578280--0.22583073)×1.73766267009823e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.73766267009823e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.73766267009823e-05×40589641000000     		ar = 14511.7532694903m²