Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60824 / 40408
↖ ↑ ↗
← N 56.619976°
W 12.941894°		 ← 168.04 m → N 56.619976°
W 12.939148°		 →
↑
168 m
↓
↑
168 m
↓
N 56.618465°
W 12.941894°		 ← 168.05 m →
28 232 m²		 N 56.618465°
W 12.939148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464054107666016 y=0.308292388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464054107666016 × 217)
    floor (0.464054107666016 × 131072)
    floor (60824.5)     		tx = 60824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308292388916016 × 217)
    floor (0.308292388916016 × 131072)
    floor (40408.5)     		ty = 40408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60824 / 40408 ti = "17/60824/40408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60824/40408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60824 ÷ 217
    60824 ÷ 131072     		x = 0.46405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40408 ÷ 217
    40408 ÷ 131072     		y = 0.30828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22587867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30828857421875 × 2 - 1) × π
    0.3834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20455841365277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22587867} λ = -0.22587867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20455841365277))-π/2
    2×atan(3.33528593609818)-π/2
    2×1.27950066979966-π/2
    2.55900133959932-1.57079632675     		φ = 0.98820501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22587867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98820501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.619976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60824 KachelY 40408 -0.22587867 0.98820501 -12.941894 56.619976
    Oben rechts KachelX + 1 60825 KachelY 40408 -0.22583073 0.98820501 -12.939148 56.619976
    Unten links KachelX 60824 KachelY + 1 40409 -0.22587867 0.98817864 -12.941894 56.618465
    Unten rechts KachelX + 1 60825 KachelY + 1 40409 -0.22583073 0.98817864 -12.939148 56.618465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98820501-0.98817864) × R
    2.63700000000533e-05 × 6371000     		dl = 168.00327000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98820501-0.98817864) × R
    2.63700000000533e-05 × 6371000     		dr = 168.00327000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22587867--0.22583073) × cos(0.98820501) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.550189634110927 × 6371000     		do = 168.042076138646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22587867--0.22583073) × cos(0.98817864) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55021165391756 × 6371000     		du = 168.048801554382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98820501)-sin(0.98817864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550189634110927-0.55021165391756)×R²
    abs(-0.22583073--0.22587867)×2.20198066330779e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20198066330779e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20198066330779e-05×40589641000000     		ar = 28232.1832364913m²